대칭과 일반화 1, 자연과 숫자에 숨어있는 속성, 왜 수학은 자연을 기술할 수 있는가?
"자연이라는 커다란 책은 그 책에 씌어 있는 언어를 아는 사람만이 읽을 수 있다. 그 언어는 수학이다"
-갈릴레오 갈릴레이
일단 먼저 답부터 적자. 제목의 답변은 "숫자 체계는 대칭과 반복이라는 것들을 서로 모순없이 잘 정의하여, 그것들이 어떻게 반복되든 모순없는 결과를 내준다. 이런 속성이 자연과 수학이 일치하기 때문에 수학이 자연을 기술하는 언어가 되었다"이다. 무슨 이야기일까..
외계인이 지구에 와서 본인들이 보유한 수학을 우리의 것과 비교한다고 가정하자. 그것들은 우리의 것과 어떻게 다를까? 숫자에 숨어있는 근원은 무엇이고, 왜 수학은 자연을 기술할 수 있는 언어인가(혹은 어떤 속성이 있길래 자연과 닮았는가?) 덧셈과 곱셈과 로그는 얼마나 특이한 것인가? 이러한 질문들에 대한 고민들은 우리가 가진 수 체계가 어떤 특성에서 출발했는지 살펴봄으로써 조금더 깊게 이해할 수 있다고 믿는다.
빠르게 진행하기 위한 최초 진술을 시작해보자. 정말로 숫자에 숨어있는 가장 근원적인 원리란 무엇인가?
그것은 "대칭"이다
왜 맨 처음 시작에 대칭이라는 화두가 나올까? 사실 세상의 모든 숫자는 1,10,100 등 어떤 숫자의 조합이 아닌 고유의 명사(사과, 바나나처럼)가 있을 수도 있었는데, 그렇게 모두 각각 다른 형태의 이름을 붙일 수가 없으니, 몇가지 규칙을 먼저 정한 후(예를들어 0부터 9) 그 확장으로 우리는 명기하고 있다. 이 몇가지 요소들에 기반해 적절한 규칙만 익히면 소개했던 대로 1,10,100 등 어떤 큰 숫자든 나타낼 수 있다. 무한히 존재하는 숫자를 생각해보면 이 과정은 어느 문명에서든 거의 필수이다. 그런데 이러한 것들을 시작하기 위해서는 최초에 어떤 가장 작은 것을 정의해야 하는가? 바로 이때 대칭이 필요하다.
대칭은 마치 저절로 태어난것처럼 생겨나는 개념이다. 그것은 아무것도 없던 것에서 -1과 +1이 생겨난 것과 같다. 합치면 없어지면서도, 아무것도 없는 0을 중심으로 거울처럼 반대쪽에 서 있다. 내가 여기에 붙인 숫자라는 거추장스러운 기호를 무시해버리고 머리속에 순수한 개념으로 그려보라. 그러면 이 둘은 말 그대로 다르면서도 같다. 서로 균형을 이룬다. 왜냐하면 원래부터 아무것도 없던 것에서 서로를 의지하면서 생겨났기 때문이다.
자 그러면 거두절미하고 이 운명적인 3개에 존재에 기호를 붙여보자. 우리가 가진 숫자를 차용해서. 헷갈리지 말아야 할 것은 그 숫자 그대로 이해하기 보다는 완전히 추상적인 두 존재로 간주해나가자는 것이다. 0은 아무것도 없으며 중심 축이므로 혼자서 설 수 있고, 나머지 -1과 +1은 0을 사이에 두고 서로를 의지해 존재한다.
"-1, 0, +1"
"-1, +1"은 사실 십진수인 아라비아 숫자를 생략해버리고 +, -로 이름붙여도 되고, +3, -3으로 해도 된다. 무엇이든 상관없다. 하지만 우리가 아는 1,2 같은 것은 좀 곤란하다. 그 둘은 합쳐서 아무것도 없는 것이 아니다.
+1, -1 대신 -1, +1로 불러도 된다. 대칭은 서로 바꾸어도 달라지지 않는다. 양수와 음수는 다르다고 주장할 수 있겠으나 그것은 우리가 그렇게 부여했기 때문이고, 여기서의 -1,+1은 서로 동등한 다른 두 녀석이다. 한 존재가 없으면 다른 존재는 바로 의미를 상실한다. 둘이 자리를 바꾸어도 아무 문제가 없다. 서로에 의해서만 의미있게 정의될 수 있다.
결국 다시 말하면 아무것도 없던 0에서, 서로 마주보는 -1, +1이 탄생했다. 여전히 그 이름에 속박되지 말고 순수하게 머리속에 떠올려보자.
그리고 이 3개 간의 관계 중에, 0에서 -1로, 0에서 1로 두 객체간의 관계를 각각 동일 반복해보자. (이 반복이라는 말을 좀더 우아하게 정의할 수 있지 않을까? 일단 여기서는 이 반복이라는 것은 연산과 계산이라는 것에 맞닿아 있다고 생각한다. 상태는 대칭으로 기술되고 그 상태의 변화의 가장 기본적인 핵심은 이 동일 반복이다.)
결국 이는 0과 나머지 두 대칭 객체들을 하나의 정해진 단위로 정의하고 그것을 반복해서 확장하는 과정이다. 띄엄띄엄하며, 정규화된 블록 1개에 같은 블록 1개를 가져다 붙이는 것과 같다. 우리가 익숙한 기하학인 직선 선분 상에서 확장하는 과정을 보면 쉽게 상상할 수 있다. 거듭반복할때마다 이름을 붙이는데, 편의상 십진수로 만들어 한번 반복할때마다 -1, +1 방향으로 그 만큼 이름을 붙인다. 이 반복에서 주의할 점은 기존과 같은 것을 복제 반복해서 확장하는 것이다.
대칭에 연관된 객체 3개가 제시된 이후로 그 객체간의 관계를 반복하는 것 외에는 새로 등장한 개념은 없다.
"이렇게 반복해가면서 정의하면 정수가 탄생한다."
우리가 가진 숫자 기호를 처음부터 사용해서 반복했기 때문에 당연하다고 할 수 있으나, -A, +A를 가지고도 만들 수 있고 심지어 -3, +3으로도 만들 수 있었다. 그러나 똑같은 방식으로 만든 숫자 체계는 동일하게 매핑(대응)된다. 이 대응이 중요하다. 뭘로 만들었든 이 정수 체계는 동일한 역할을 수행할 수 있고 근본은 같다.
"대칭에서 탄생한 3개의 객체간에서 축과 두 대칭요소의 2가지 관계를 반복한다."
그리고 외계인이 무엇을 만들었든 이 정수와 매핑되는 것이 있을 소지가 매우 크다. 왜냐하면 이것들은 대칭의 균형을 매우 기초적인 단계에서 확보하고 있는 가장 기본적인 기호 체계이기 때문이다. 다른 모든 것의 확장 기반이 된다.
그리고 자연스럽게 앞의 '반복'을 좀더 확장한 덧셈이 탄생한다. 그렇다 앞서 주장한대로 연산들의 가장 근원은 반복이며, 최초로 확장은 덧셈이다. 대칭으로 구성된 체계는 몇번을 동일 반복 해가느냐에서 이 덧셈이 자연스럽게 탄생한다. 기호를 정해서 이 복제를 연산자로 표시해보자.
A+B = A번 반복하고 B번 반복한다 = B+A = B번 반복하고 A번 반복한다
사실은 앞서 기술한 것처럼, 예컨데 3이라는 숫자는 (0,1)의 관계를 3번 반복했다는 연산을 이미 함축하고 있다. 더하기란 A라는 반복 연산 후 B라는 반복 연산을 연속 시행했을때, 결과적으로 C라는 반복연산을 수행했다는 것을 간편하게 나타내고자 할때 사용하는 기호이다. (그리고 개인적으로 이 덧셈 연산 등은 모두 미지수 x를 구하는 문제 때문에 탄생했다고 나는 생각한다. 미지수 x는 대칭을 성립시켜야 하는 의무 속에 이 수 체계의 모든 확장을 강요받게 된다. 나중에 더 논해보자.)
그리고 여전히 중요한 것은 대칭을 유지하는 것인데, (0,-1)관계를 반복하는 것을 -반복, (0,+1)관계를 반복하는 것을 +반복이라고 했을때, n번 +반복하고 n번 -반복하면 0이 되어야 한다.
그러면 이제 덧셈기호를 차용해 A+x = C라고 하자. A번 반복하고 x번을 반복했더니 C번 반복한게 되었다. 그러면 x번은 몇번 반복한것인가? 사실 여러가지 경로를 통해 뺄셈이라는 연산이 자연스럽게 등장할 수 있다. -반복은 +반복의 대칭 관계에 있다. 서로 반복해서 상쇄되는 관계를 지닌다.
A-B = A번 반복하고 그 복제의 대칭을 B번 반복한다
결국 뺄셈이라는 연산은 대칭 체계 안에서는 아직 밖으로 벗어나지 않는 연산이며 그 안에서 정의된다.
"이렇게 외계의 숫자를 만나도 덧셈 확장이 존재하고, 그 덧셈 확장은 대칭 숫자와 결합된 뺄셈확장을 존재시키게 된다."
반복과 대칭만 가지고 앞서 3개의 기호간의 관계를 복제해서 확장시키면(-1, +1은 두개는 대칭이므로 따로 조합해 확장할 수가 없고, 0과 나머지 두개끼리만 가능하다) 자연스럽게 반복을 쉽게 해주는 덧셈이라는 계산이 생겨나고, 이 덧셈이라는 복제를 대칭에 있는 다른 것과 모순없이 같이 잘 정의해야만 이 수체계에서 미지수 x를 구할 수 있다.
갑자기 이 미지수 x가 튀어나왔는데 앞서 밝힌대로 모든 대칭관계를 완벽하게 만들어 주는지 검증할 때도 사용할 수 있다. 예를 들면,
A+x = B
이다. A번 반복하고 x번 반복하면 B가 되는데 이 x번은 몇 번이냐이다. 잘 알려진대로
A+x = B
A+x-A = B-A
x = B-A
로 나타낼 수 있다. 대수(algebra)적인 문제를 풀려면 이 대칭(연산을 포함해)들이 모두 맞아 떨어져야 쉽게 풀린다. 어떤 경우든 풀려고 한다면 모든 대칭관계가 완벽해야 한다. 반대로 대칭이 완벽해야 모든 경우에 대해 설명할 수 있다. 그렇게 대칭관계의 연산이 모자라면 안풀리는 상황이 생긴다. 만약에 위에서 뺄셈이 정의가 제대로 안되어 있다면, 쉬운 기호를 만들어 x를 구하기 어려웠을 것이다. 그러나 덧셈의 대칭 역할을 하는 뺄셈이 잘 정의됨으로 인해 쉽게 풀리게 되었다.
우리는 지금까지 "-1, 0, +1 세개를 가지고 확장한 정수 체계와, +1방향 복제와 -1방향 복제를 거듭하는 덧셈과 덧셈의 연산에 대칭을 고려한 뺄셈"을 갖게 되었다. 그리고 이 연산의 과정이 대칭상에 완벽한지 x를 놓고 다양하게 검증할 수 있게 되었다.
이 체계는 정수와 매핑되는 모든 반복 계산의 문제에 답을 줄 수가 있는데, 그 이유는 앞서 이야기한 대칭과 복제(+1방향과 -1방향의 같은 방식의 복제)가 성립되는 기호 체계 안에 있기 때문이다. 그리고 +1과 -1이 대칭의 중간인 0을 갖기 때문이기도 하다. 따라서 이 속성들이 수학 체계가 갖는 매우 중요한 특성이고, 밝힌대로 외계의 숫자와 연산체계를 가지고 오면 이것과 분명히 1:1로 각각 대응하는 것들이 존재할 것들이다.
결국 숫자 체계는 대칭과 반복이라는 것들을 서로 모순없이 잘 정의하여 그것들이 어떻게 반복되든 모순없는 결과를 내준다. 사실은 내가 주장하고 싶은 내용은 바로 이게 핵심이다. 이런 속성이 자연과 수학이 일치하기 때문에 수학이 자연을 기술하는 언어가 되었다는 점이다.
이후에는 즐겁게 확장해나갈 수 있다. 연산을 빠르게 하기 위해 곱셈(특정 반복을 통째로 복제하는 것)을 도입하면, 그 대칭인 나눗셈이 나오게 되고, 미지수 x를 풀 수 있게 숫자는 실수로 허수로 확장된다.
곱셈이나 나눗셈이 나오면 정수 체계하에서도, 수의 확장이 곧바로 필요해진다.
2/x = 3, x * x = 2, x * x = -2
등등에 대응해주지 않으면 이 대칭과 확장은 절름발이가 되는데 이 x에 대해 자연수럽게 유리수, 무리수, 복소수가 아주 자연스럽게 도출된다. 그리고 우리 수학체계는 긴 세월동안 이런 것들이 x의 값을 구하는 문제에 당면하여, 모든 상황에서 잘 대칭에 맞게 확장시켜온 것이다. 외계인의 수 체계도 위와 같이 잘 확장되어 있어야 효과적으로 문제를 풀 수 있게 되는 것은 당연하다.
상호 모순이 없는 대칭의 것들은, 이렇게 한쪽이 도입되면 자연스럽게 반대쪽도 나타나게 된다. 결국 x * x = 2 가 되는 무리수, x * x = -2 가 되는 허수는 이 대칭 체계안에서 자연스럽게 탄생될 운명이다. 3 * x = 2 라고 하면, 3을 과연 몇번 복제해야 2가 되는가 라는 질문인데? 상호 대칭에 모순이 없도록 이 x는 2/3으로 정의될 수 밖에 없다. 새로운 수들은 대칭의 원리에 충실하며 그래야만 상호간에 성립된다. 같으면서도 달라야하는 이 관계를 통해 숫자들은 다양한 상황에서도 거울처럼 상대편을 받치고 반복들을 성립시키기위해 서로서로가 확장된다.
곱하기/나누기 외에 제곱과 로그가 대칭의 있는 연산인 점도 마찬가지다. 물론 새로운 계산을 정의할 수도 있다. 그리고 이 새로운 계산은 늘 대칭의 짝을 찾게 되어 있다.
양자역학에서도 이 대칭은 큰 역할을 했다. 지도의 한구석이 빠져있다는 것이 밝혀지면 과학자들은 그것이 존재할것이라는 신기한 믿음을 갖는다. 그리고 여지없이 그것들이 발견되었다. 물론 모든 대칭이 자연에 나타난다고 주장하는 것은 아니다. 대칭의 모순이 없이 항상성을 유지하려면 내놓아야하는 결과를 많은 경우 발견할 수 있는 것이다. 새로운 연산 기호나 수 체계는 그래서 이 대칭관계를 지키는 것이 어떤 모양인지 살펴야만 기존 수체계에 모순없기 결합된다.
그리고 조금 더 나가보면, 사실 이 논의에서 무한은 빠져있는데, 무한이 위 대칭과 결합하면 연속적인 것까지 모두 다룰 수 있는 수학 체계를 만들어 낼 수 있다. 마무리 되기 전에 간단히 짚어보자.
무한은 칸토어가 지적했듯이 매핑관계가 핵심이다.
정수가 확장되고 유리수가 되면서 신기한 일이 일어났는데, 그저 하나씩 더해서 무한하게 커지던 정수 체계가(1에서 계속 1을 더해서 무한하게 되던), 특정 구간, 예를 들면 0과 1사이에 그 무한의 것들이 모두 들어가는 매핑관계가 필요하게 되어 버렸다. 이전에 살펴보던 연산기호 확장 과정에서 곱셈과 나눗셈이 나오면서 등장했던 것을 기억할 것이다. 그리고 가장 오래된 설명은 제논의 역설에 나오는 아킬레스와 거북이다. 거기에는 계속 반씩 줄어드는 유리수의 개수가 무한하다는 사실이 등장한다. 아킬레스는 거북에 반씩 반씩 무한히 접근해야 되므로 다다를 수 없다는 역설이 생긴다. 이렇게
무한한 수가 0과 1사이의 값들에 매핑되는 기호 체계를 요구하는 일이 발생한다.
그런데 이 매핑만 잘되면 무한의 문제도 해당 수 체계 안에서 다룰 수 있다. 그런데 분명히 우리는 띄엄띄엄한 유한한 기호 체계를 만들어서 시작했는데 어떻게 이런게 가능한가!
밝힌대로 앞서 곱셈이 등장할때부터 수학은 무학의 문제를 겪었다(0으로 나누는 것이 대표적이다. 제논의 예시처럼 유리수도 0과 1사이에 무한히 존재한다) 그리고 이러한 매핑 가능성이, 현실세계에서 느껴지지 못하는 점이 이 무한을 이해하기 어렵게 만드는 일 중의 하나이다. 무한은 본질적으로 이 매핑관계의 해결에 대한 문제이다. 유한해 보이는 것을 무한한 것에 매핑시키려면 유한한 것을 무한히 쪼개는 수 밖에 없는데, 우리 수학 체계는 이것을 해결해낸 셈이다(유리수, 무리수 등등을 통해서)
이렇게 수 체계와 대칭, 무한의 관계가 풀리면 수학은 본격적으로 연속된(무한히 확대되어도 부드러운?) 모든 것까지 묘사할 수 있다.
그리고 앞서 밝혔듯이 대칭의 연산을 통해 항상 일관된 결과를 내는 도구를 갖게 된다. 이 수학을 가지고 우리는 물리학 등을 통해 자연을 묘사하고 있는 셈이다.
이 과정에서 대칭에 막연한 신비로움을 부여할 수도 있겠으나, 그렇다기보다는 위의 특성을 만족시키는 것(결국 서로 다르면서도 평등한 것)이 바로 축을 중심에 둔 대칭이라고 바꾸어 말할 수 있다. 유사한 등가의 것을 대입하면 이 대칭이라는 것은 다른 말로 기술될 수 있다. 그러나 사실은 본질은 같은 것이다. 대칭상에서 반복과 그 일관성을 찾은 것이 인간이나 외계인이 만들어낼 자연을 기술하는 언어 체계의 특성이다.
위 대칭 관계를 생각해보면, 아무것도 없는 것에서 단순한 것으로 무언가를 체계화 하려면 대칭이 아니면 만들 방법이 마땅치 않다는 것을 알 수 있다. 아무것도 없는 것을 지나 최소한에서 시작해 무엇을 만들어나가려면, 곧바로 대칭을 마주하게 된다. 그리고 그렇게 모든 것을 반복해나가면 사실은 대칭이 아닐 수가 없다. 세상은 복잡해보이지만 계속 파헤치면 원자들이 나타나고 이것들은 대칭성 속에서 완전성을 갖고 있다. 이 과정을 위와 같이 곱씹어 보면, 과연 대칭이 아닌 무엇이 자연을 지탱할 수 있는가 싶기도 하다. 결국 맨 밑의 기초에는 대칭 빼고는 아무것도 존재하지 않게 된다.
급하게 전개했으나 우리가 가진 수학체계를 더 일반화해서 생각 하는데 도움이 되었기를 바란다.