카오스 이론 소개, 엑셀로 알아보자
다음은 책 수학재즈(에드워드 B. 버거, 승산출판사)에 나오는 카오스 이론의 소개이다. 이 작가는 카오스 이론을 엑셀로 직접 보여주며 알려준다. 사실은 수학에서의 카오스 이론은 단순한 법칙이 지속 반복해서 적용되었을 때의 놀라운 복잡성에 대한 이야기인데, 여기서는 아래 계산을 반복한다는 점을 우선 이야기해보자.
다음값 = 직전값*직전값 -2
그리고 엑셀에 이 값을 넣어서 흔히 하듯이 표와 식을 만들어 계산해보면 아래와 같은 결과를 얻을 수 있다. 초기값을 0.5로 잡아보자. 첫번째 계산 탭에서는 단계가 커질 수록 그 반복 계산 값이 나오는데, 이때 특이한 것은 두번째 계산이다. 15단계에서 첫번째 계산의 결과값을 오른쪽 컬럼에 옮겨적고 동일한 계산을 이후로 같이 반복해보자.
그런데 놀라운 일이 벌어진다. 49단계 정도까지 가면, 이 최종 계산의 결과가 달라진다. 물론 앞에서도 조금씩 달라지긴 했는데, 마지막에는 전혀 다른 값으로 변한다. 대체 왜일까? 엑셀의 버그인가?
신기하게도 이 유사한 고민을 기상학자 로렌츠도 했었고, 그는 그 연구 결과를 가지고 카오스의 아버지로 불리게 되었다.
이렇게 값이 틀어지는 이유를 간단히 먼저 설명하면, 사실 저 15단계의 옮겨적은 값은 컴퓨터 메모리상에서는, 아주 작지만 서로 차이를 가진다. 엑셀은 소수점이하 값을 표기할때 특정 유효숫자 이하는 가리고 보여주는 정책을 가지고 있기 때문이다. 그래서 아마도 저 값은 1.52216347xxx.. 처럼 xxx에 숫자가 더 있을테다. 그런데 화면의 값을 보고 옮겨적인 수치는 정확히 1.52216347값이 들어가겠다. 그리고 이 작은 차이값은, 소위 되먹임 계산을 반복하면서 점점 큰 차이를 내며 49단계 정도에서는 아예 서로간 다른 계산 값을 보여주게 된다. 이것이 바로 날씨를 제대로 예측하기 어려운 현실에 대한 수학적 이해이다. 매우 작은 값의 차이고 얼마간 되먹임을 반복하면 전혀 다른 상황이 되는 것이다.
즉, 북경의 나비의 날개짓이 결국에는 뉴욕에 태풍을 불러 일으키게도 할 수 있다는 말의 실제 메카니즘이다. 되먹임 계산들은 흔히 저렇게 단순한 계산(이전 값을 두번 곱해서 2를 빼는 정도라도)임에도, 마치 불규칙해보이는 것처럼 작은 초기값 차이에도 결과값이 크게 바뀌게 되기 때문이다.
그리고 이 소개를 하는 이유는 이 근본에 숨어있는 결국은 무한에 대한 내용이다. 상기 되먹임 계산이 정확히 재현되기 위해서는 소수아래에 무한한 정확도를 지녀야만 함이 자명하다. 계산을 반복할 수록 소수점 아래의 정보들이 더 길게 커지기 때문이다. 위 계산에서도 0.5가 한 단계를 지나 -1.75가 되고, 그 다음은 1.0625가 된다. 몇 단계 가지않아 소수점 아래 자리수들은 엄청난 자리수로 늘어나게 된다. 그리고 이 엄청난 자리수는 역시 조금만 생략 되어도, 몇 단계 후의 결과를 완전히 뒤바꿔버린다. 자연이 계산을 할때 곤란한 경우가 되겠다. 왜냐하면 처리해야하는 계산이 지속 기하급수적으로 늘어나기 때문이다. 게다가 대충 생략해도 결과가 완전히 바뀐다.
양자역학에서는 이미 플랑크 상수라는 물리량의 최소 단위를 정의하는 값이 존재하기는 하지만, 이 현상들은 재미있는 실험의 가능성을 상징한다. 어떻게든 유효 자리수에 대한 내용을 이런 일정한 되먹임 계산을 통해서도 입증할 수 있지 않을까? 과연 자연은 이 과정을 어떻게 처리할까? 절대온도 0도에서 발생하는 다양한 현상들로 되먹임을 일으키는 현상을 만들고 한참동안 지켜보면 어떨까 하는 상상이다.
수학적인 계산에 의해 자연이 작동한다고 믿게 되면 이런 여러가지 재미있는 질문을 던질 수 있게 되는 것같다. 카오스에 대한 재미있는 설명(엑셀을 도입한!)이라 옮겨 실어본다.