대칭의 심연, 모든 수는 대칭에서 탄생한다 2

대칭을 이루려면, 더 추상화하는 작업이 필요한데 이것이 쉽지 않다. 이것저것 시도하다보면 아래가 그나마 가장 짧게 묘사하는 것임을 알 수 있다.

 

"서로 다른데, 합치면 완전히 사라지는 것"

 

즉 A /= B 인데 A+B = 0 으로 간주해볼 수 있다. 이 둘을 만족하면 대칭 체계를 구성할 수 있다. (조금더 상상해보면 3개, 4개를 가지고도 만들 수 있는데, 그러면 각각 상호간에 대한 관계 구성도 그렇고 조합관계도 복잡해져서 단순성면에서는 그다지 아름답지 않다.그러나 아직 모르는 어떤 효용이 있을 수도 있겠다. 이를테면 삼각형 중앙에서 각 꼭지점으로 뻗어나가는 3개의 직선을 상상해보면 되지 않겠는가. 모두 합치면 0이지만 서로 다르다)

 

이보다는 더 특수한 케이스로 쉽게 나타낼 수 있는데, 이를 테면 직선에서 이동이다.

한 점을 잡고, 그 점을 0이라 한 후해 그 점과 다른 한점을 잡고 1이라 하고, 0과 그 점사이의 거리만큼 반대편에 있는 곳을 -1이라고 하자.

그러면 1과 -1은 서로 다르면서도,  교체해서 그 중간을 구해도 0은 동일하게 유지된다. 그런데 어찌보면 이정도도 충분하다.

 

이제 1,2,3,4는 0에서 1의 각점의 이동을 누적을 유지하며 몇번 반복하느냐이고

이제 -1,-2,-3,-4는 0에서 -1의 각점의 이동의 누적을 유지하며 몇번 반복하느냐이고

 

그리고 연산과 숫자는 엄격히 분할되는 것일까? 그 둘은 무슨 관계를 지닐까?

대칭이라는 자체가 관계 속에서 탄생한다. -1과 1은 0에서 서로 반대쪽으로 이동했음을 가리킨다.

그리고 연산은 이 관계의 여러가지 조합을 다루기 위해서 필요하다. 즉 대칭의 조합이 연산이다. 즉 대칭과 이를 반복적으로 상태를 변경해나가는 것이 연산이다. 다만 그것은 이 대칭의 체계에서 모순이 없도록 구성된다.

 

대칭에서 1,2,3,4 같은 숫자는 대칭의 반복이 진행됨에 따라 다다른 상태를 곧바로 지칭하는 것이다. 우리는 이를 숫자라고 부르는데, 그 기초는 어떤 값이며 사실은 이것의 길이는 애초에 존재하지 않는다. 다만 1이라고 하는게 인지상정이겠다. 그리고 그것을 반복하면 이제 1,2,3,4형태로 확장된다. -1은 같은 방식으로 -1,-2,-3,-4로 지칭하는 것을 만들어 낼 수 있는데, 이것들은 1,2,3,4와 닮아 있다. 왜냐하면 반대편의 양수와 합쳤을때 0이 되어야 하기 때문이며 거울의 속성을 유지해야 하기 때문이다.

 

곱셈은 곧바로 이 특정한 이름을 가진 숫자들을 이제 통째로 몇번 반복하는지에 대한 내용이다. 이 몇번도 숫자이며 이는 앞서 정의된 규칙을 따라가게 된다.

 

뺄셈과 나눗셈은 이 덧셈과 곱셈의 반대 연산으로 태어나게 되며 나눗셈은 자연스럽게 분수를 탄생시킨다. 그리고 0으로 나누면 무한대가 등장하기 시작한다.

 

곱셈의 거듭인 제곱기호가 탄생하면 그 역연산인 로그가 탄생하고, 음수가 끼어들면 제곱해서도 음수가 되는 허수가 등장한다.

 

여하튼 다른 관점에서 기술했지만 이 모든 것은 서로 다른데 그 둘이 합해지면 사라지는 관계에서의 조합이다. 이것이 수체계의 근간이라고 생각한다.

 

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