고등학생 친구에게 설명한다고 생각하고, 실제 클라우드 양자 컴퓨터에서 쇼어 알고리즘을 돌려 소인수 분해하는 과정을 차근차근 이야기해 보자. 수학적인 깊이보다는 전체적인 흐름과 각 단계의 의미를 이해하는 데 초점을 맞추어 보겠다.
우리의 목표: 큰 수 N을 소인수 분해하기 (예: N = 15)
우리가 소인수 분해하고 싶은 숫자 N이 있다고 해보자. 간단한 예로 N = 15이라고 하자. 물론 15 = 3 x 5라는 건 바로 알지만, 이 숫자가 아주아주 커지면 컴퓨터로도 계산하기 어렵다. 쇼어 알고리즘은 바로 이런 큰 수의 소인수 분해를 양자 컴퓨터로 빠르게 해결하는 방법이다.
1단계: 소인수 분해를 위한 '도우미 숫자' a 고르기 (고전 컴퓨터 작업)
먼저, N과 서로소인(최대공약수가 1인) 숫자 'a'를 하나 고른다. N=15에 대해서는 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14 등이 가능하다. 그냥 간단하게 a = 7로 정해보자. 이 a는 나중에 양자 컴퓨터가 주기(사이클)를 찾는 데 중요한 역할을 한다.
2단계: 양자 컴퓨터의 마법 - '주기(period)' 찾기
쇼어 알고리즘의 핵심은 를 N으로 나눈 나머지, 즉 이라는 함수의 주기 r을 찾는 것이다. 주기라는 건, 이 되게 하는 가장 작은 양의 정수 r을 말한다. 즉, 값이 반복되는 패턴의 길이다.
- 예를 들어 N=15, a=7 이면,
- (다시 7이 나왔다!)
- 이 함수의 값은 7, 4, 13, 1, 7, 4, 13, 1, ... 이렇게 반복된다. 주기는 얼마일까? 바로 r = 4 이다.
이 주기 r을 찾으면, 이라는 성질을 만족한다. ( 이고 이다.) 이 주기 r을 알면 소인수를 찾는 데 결정적인 단서를 얻게 된다. 이 주기 찾기를 양자 컴퓨터가 아주 잘한다.
3단계: 양자 회로 구성 (클라우드 양자 컴퓨터에 명령 내리기)
이제 클라우드에 있는 양자 컴퓨터에 접속해서 양자 회로를 만들어 실행할 차례이다. 이 회로는 주기 r을 찾기 위해 특별히 설계된다.
- 큐비트 준비: 양자 컴퓨터의 기본 계산 단위인 큐비트를 준비한다. 두 그룹의 큐비트가 필요하다.
- 첫 번째 그룹 (입력 레지스터): 여러 가능한 x 값(0, 1, 2, 3, ...)을 동시에 나타내기 위해 사용된다. 큐비트 수에 따라 표현할 수 있는 x의 범위가 정해진다.
- 두 번째 그룹 (함수 레지스터): 계산 결과를 저장하기 위해 사용된다.
- 중첩 만들기 (아다마르 게이트): 첫 번째 그룹의 큐비트들에 **아다마르 게이트(Hadamard gate)**라는 양자 연산을 적용한다. 이렇게 하면 큐비트들이 0과 1 상태를 동시에 갖는 '중첩' 상태가 되어, 수많은 x 값들을 한 번에 다루는 효과를 낸다. 마치 여러 갈래 길을 동시에 탐색하는 것과 같다.
- 계산 (모듈러 지수화 연산): 이제 첫 번째 그룹의 x 값들에 맞춰 두 번째 그룹의 큐비트에 연산을 수행한다. 이 연산은 첫 번째 그룹의 큐비트 상태에 따라 제어되어 실행된다. 이 과정에서 첫 번째 그룹과 두 번째 그룹의 큐비트들은 양자 얽힘 상태가 된다. 즉, 서로 밀접하게 연결되어 한쪽의 상태가 다른 쪽에 영향을 주게 된다.
- 주기 정보 추출 (역 양자 푸리에 변환 - IQFT): 두 번째 그룹 큐비트는 이제 의 결과들을 중첩된 상태로 가지고 있고, 첫 번째 그룹과 얽혀있다. 여기서 마법 같은 일이 일어난다. 첫 번째 그룹의 큐비트들에 **역 양자 푸리에 변환(Inverse Quantum Fourier Transform, IQFT)**이라는 특별한 양자 연산을 적용한다. 이 IQFT는 함수의 주기 r에 대한 정보를 첫 번째 그룹 큐비트들의 측정 확률 분포로 바꿔주는 역할을 한다. 마치 숨겨진 음악의 특정 주파수(여기서는 주기)를 찾아내 증폭시키는 것과 비슷하다.
4단계: 측정과 확률 분포 얻기 (반복 실행)
IQFT까지 적용된 첫 번째 그룹의 큐비트들을 측정한다. 측정하는 순간, 큐비트의 중첩 상태는 깨지고 0 또는 1의 고전적인 비트 값으로 확정된다. 이 측정값을 기록한다.
- 반복 실행 (Shots): 양자 컴퓨터는 확률적으로 작동하기 때문에, 한 번의 측정만으로는 정확한 정보를 얻기 어렵다. 그래서 위에서 설명한 양자 회로를 수백, 수천 번 (클라우드 서비스에서는 'shots'라는 파라미터로 지정) 반복 실행하고, 매번 첫 번째 레지스터의 측정값을 기록한다.
- 확률 분포: 이렇게 많은 측정값들을 모으면, 어떤 값들이 더 자주 나왔는지 알 수 있다. 이것이 바로 확률 분포다. 이상적으로, 이 확률 분포는 우리가 찾고자 하는 주기 r과 관련된 특정 값들에서 높은 봉우리를 보이게 된다.
- 예를 들어 N=15, a=7, 주기 r=4인 경우, 측정 결과는 (이상적으로는) 0, , , (여기서 M은 첫 번째 레지스터가 표현할 수 있는 최대 정수값) 근처의 값들에서 높은 확률로 나타난다.
5단계: 주기 찾기 (고전 컴퓨터 작업 - 연분수 알고리즘)
양자 컴퓨터가 알려준 확률 분포(측정 결과들)를 이제 고전 컴퓨터로 가져와 분석한다.
- 확률 분포에서 봉우리를 이루는 측정값들을 찾는다. 이 값들은 형태에 가까운 값들이다 (k는 정수).
- 이 측정값들로부터 실제 주기 r을 찾아내기 위해 **연분수 알고리즘(continued fractions algorithm)**과 같은 수학적 방법을 사용한다. 이 알고리즘은 측정된 값(분수 형태)에 가장 가까우면서 분모가 작은 간단한 분수를 찾아주는데, 이 분모가 바로 우리가 찾는 주기 r의 후보가 된다.
- 여러 측정값으로부터 여러 주기 후보를 얻을 수 있고, 이들을 검증하여 실제 주기 r을 확정한다. (우리의 예에서는 r=4가 나와야한다.)
6단계: 소인수 계산 (고전 컴퓨터 작업)
드디어 주기 r을 찾았! (우리 예에서는 r=4) 이제 이 r을 이용해서 N의 소인수를 계산한다.
- 주기 r이 짝수인지 확인한다. (r=4는 짝수, 통과!)
- 이 (즉, -1 mod N)이 아닌지 확인한다.
- .
- .
- .
- 이므로 통과!
- 만약 위 두 조건 중 하나라도 만족하지 않으면, 처음으로 돌아가 다른 a를 선택해서 다시 시도해야 한다. 운이 좋으면 한 번에 되지만, 아닐 수도 있다.
- 이제 두 개의 소인수 후보 p와 q를 다음 공식을 사용해 계산한다.
- (gcd는 최대공약수를 의미한다.)
드디어 N=15의 소인수 3과 5를 찾았다!
실제 클라우드 환경에서의 현실
- 큐비트 한계와 오류: 현재 클라우드에서 제공하는 양자 컴퓨터는 큐비트 수가 아직은 수십~수백 개 수준이고, 큐비트들이 매우 민감해서 연산 중에 오류(노이즈)가 발생하기 쉽다. 그래서 N=15 정도의 작은 수를 소인수 분해하는 것도 여러 번 시도해야 의미 있는 결과를 얻을 수 있고, 훨씬 큰 수를 분해하려면 더 많은 큐비트와 오류율이 낮은 양자 컴퓨터가 필요하다.
- 결과 분석: 실제로는 확률 분포가 이상적으로 깨끗하게 나오지 않고 노이즈 때문에 다른 값들도 꽤 측정된다. 그래서 통계적인 분석을 통해 의미 있는 신호를 찾아내는 과정이 중요하다.
(w/ Gemini 2.5 pro)
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