수와 진법에 대하여

1) 서로 다른 진법이 나타내는 다른 양상, 그리고 진법이란?

 

1/3 = 0.333333..... 으로 나타내진다. 그런데 3진수로 나타내보면 어떨까?

1/3을 3진수로 나타내면 0.1(3진수)으로 나타낼 수 있다. 신기하게도 순환하지 않는다.

 

영어로 base, 우리나라 말로는 진법이라 불리는 이 수 기록 체계는, 사실은 2진법, 8진법, 16진법, 60진법, 20진법 등 과거와 현재에 다양한 진법이 존재한다.

 

이 표기법을 수학적으로 나타내보자면 특정 수를, x의 제곱들로 덧셈 분할한다. 대략 아래 표현식을 보면 이해할 수 있다.

 

진법의 표시 : b진법은 b의 다양한 n제곱들(n은 정수)로 수를 덧셈의 묶음으로 분할한 것이다

10진법은 위 경우의 조금더 특수한 경우로 앞의 숫자가 자연수이다.

 

이 진법을 확장할 수 있을까? 가능하다. 2진법부터 시작해서, 허수진법, 무리수진법, 음수진법 모든 것이 가능하다. 다만 앞에 붙는 상수가, 정수 진법이 아닌 경우에는 규칙에 따라 무의미해지는 경우가 있을 수 있다.

 

결국에는 이렇게 10진법은 자연수와 정수를 가지고 특정 수를 짧게 나타내주는 표기법이라고 볼 수 있다. 그리고 지나치게 길지 않게 하기 위해 자리수를, 10의 제곱수로 늘려나간다. 지수적인 증가를 채택해서 더 큰 수를 짧게 표현할 수 있는 체계이다.

 

 

자, 일단 진법은 그렇다고 치고 이 수를 가지고 유한과 무한을 다룰때로 다시 돌아가보자.

 

왜 1/3은 10진법과 3진법에 순환하는 양상이 다를까.

10진법에서는 무한한 반복으로 나타내야 하는데 3진법에서는 유한한 숫자로 나타낼 수 있을까?

 

진법의 본질은 제곱수들로 특정 수를 덧셈 분할하는 것이다. 예컨데 1/10, 1/100, 1/1000 의 자연수 조합으로 수를 나타내다보면 반복되어 그것을 메꿔나가야하는 일이 생긴다. 이 거듭제곱수의 패턴에 따라 어떤 것은 유한하게 반복되어 나타내어야 하고, 어떤 것은 딱 떨어진다.

 

A) 모든 유리수는 어떤 진법이든 무한히, 같은 숫자들의 그룹(진법상의 각 자리수 숫자/순서가 중요한)이 반복되어 표기되는 것으로 나타낼 수 있다. 그러나 어떤 진법에서는 그 반복이 유한한 것이 다른 진법에서는 유한하지 않을 수 있다.

 

    증명은 필요하나 어렵지 않게 가능하리라고 본다.

 

그러면 무리수는 어떨까?

 

무리수(여기서는 작도 가능한 길이로 한정하자)는 어떠한 진법으로도 반복되는 패턴이 나타나지 않는다.

 

B) 무리수는 어떤 진법이든 무한히 같은 숫자들의 그룹(진법상의 각 자리수 숫자/순서가 중요한)이 반복되지 않는 수의 흐름으로 나타나게 된다. A와 마찬가지다.

 

조금더 재미있는 추측을 해보면

 

C) 무리수에서 나타나는 개별 자리수의 정수값들의 반복은(Ex> 3.14159...에서 무한히 소수점 아래 자리수를 늘려나갈때 개별 각 숫자의 출현 분포, 위에서 말한 해당 진법상의 각 자리수 숫자) 균일하게 나타난다. 어떤 진법에서도 마찬가지 양상을 보인다.

 

 

중요한 것은 C의 이유인데, 왜 그럴까?

 

사람들에게 파이(pi)에 대해 똑같은 질문을 하면 본능적으로 각 숫자들(0~9 각각의 출현 빈도)이 유사한 빈도수로 반복되리라는 것을 알고 대답한다. 나는 이것이 사람이 자연에 대해 느끼는 대칭성때문이라고 생각한다(아직 증명이 필요하겠지만). 무한히 반복없이 흘러가는 수의 흐름이 특정 진법에서 어떤 숫자에 편중되는 패턴을 가지고 움직인다고 하면 대칭적이지 않다. 대칭성은 어떤 진법의 무리수에서도 지켜진다고 믿는다.

 

 

2) 2진법의 효용성에 대하여

 

다양한 진법가운데 가장 좋은 것은 2진법이라고 생각한다. 기계적이고 수학적인 접근에서는 2진법이 여러 방면에서 유리하다. 예를 들면 2진법에서의 짝수는 1의 자리수가 0인 것이 짝수이다. 10진법에서 짝수가 끝이 0,2,4,6,8인 것에 비하면 훨씬 더 단순하게 기술된다. 정수론은 진작에 2진수로 모든 수를 나타냈어야 더 직관적으로 풀렸을 것이다. 그리고 인류가 2진수를 썼다면 0도 더 빨리 발견되었으리라. (10진법이 편한것은 알겠다만 이론적으로는 그렇다는 얘기다)

 

  (10진법 = 2진법)

  1 = 00001

  2 = 00010 (짝수)

  3 = 00011

  4 = 00100 (짝수)

  5 = 00101

  6 = 00110 (짝수)

  7 = 00111

  8 = 01000 (짝수)

 

2진법으로 나타냈을때 위에서 언급했던 무리수의 패턴을 보면 자명하다. 0과 1의 개수가 전개 패턴이 서로 다르면서도 균등하게 나온다. 이 관점에서 무리수란 0과 1이 랜덤하게 반복되어 나타나는 것과도 유사한 대칭을 이룰 수 있어 보인다.

 

이 이야기와는 별도로 랜덤함에 대해서 이해가 필요하다고 믿는데, 칸토어가 무한대의 밀도를 비교했듯이 이 랜덤함에 대하여도 여러가지 등급이나 특성을 부여할 수 있고 이것이 자연을 이해하는데 기여를 할 수 있다고 믿고 있다. 이는 나중에 또 정리해보자.

 

3) 소수를 사용한 다른 차원의 진법?

 

모든 자연수는 소수의 연속 곱으로 나타낼 수 있다. 그러면 모든 유리수는 아래와 같이 나타내는게 가능하다.

즉, 분수로 나타낸 수를 아래 위 각기 소수의 거듭제곱 형태로 나타낼 수 있다(아래는 차례로 2,3,5,7까지만 써보자) 

이를 소수진법(위 일반 진법들과 형태는 좀 다르다고 하더라도)이라고 하자. 거듭제곱에 음수를 허용하면 유리수를 나타낼 수 있고, 0이상의 정수만 허용하면 자연수만 나타낼 수 있다. 이미 괴델 등은 각 소수의 거듭제곱 수가 다르면, 서로 겹치지 않은 숫자를 만들어낼 수 있다는 점을 자신의 불완전성 정리 증명에 응용한 적이 있다.

 

소수진법을 본격적으로 적용해서 2,3,5,7,11,..의 거듭제곱 수를 각각 거꾸로 써서 나타내면 아래와 같겠다. 소수진법에 의한 수라고 해야할까. 물론 각 자리수가 어떤 정수이든 들어갈 수 있다.

 

 

이 진법을 직접적으로 쉽게 연산할 수 있는 기계가 존재한다면 소인수 분해 등이 빨라지겠다. 물론 사실은 이는 좀 앞뒤가 바뀌어 있는 논리이긴 하겠다(소수의 패턴이 발견되었다는 의미일테니까). 진법을 따지다보니 이렇게 기존의 로그 스케일이 연관된 것(거듭제곱)이 아닌 완전히 다른 진법을 창조할 수 있겠다 싶어 괴델의 방식에서 착안해 예시로 들어보았다.

 

이 글들은 이제 https://infomath.tistory.com/ 로 옮겨서 논의해보려고 한다.