칸토어, 무한과 기계적 구현의 연계에 대해서

짐 홀트의 책 "아인슈타인이 괴델과 함께 걸을때'를 보면 무한을 최초로 정확히 해명한 수학자로 알려진 칸토어가 한 업적이 나온다.

 

첫째는 어떤 두가지의 무한이 서로 본질적으로 같다는 것을 증명하는 방법(무한한 자연수와 유리수가 같다)과 그렇게 같지 않은 더 큰 계위의 무한이 존재하며, 늘 그 무한을 원소로하는 집합을 재창조함으로서 그것이 가능하다는 증명을 했다는 점이다.

 

흥미롭게도 이 관점은 엔지니어로서는 무한이라는 것을 컴퓨터로 구현한다는 관점에서 바라볼 수 있다.

 

사실상 무한이라는 것은 단순히 큰 메모리를 할당하는 것으로는 구현할 수 없다. 이를 테면, 전체를 나타내기 위해서는 메모리가 부족하게 된다. 그래서 흔히들 컴퓨터에서의 변수의 크기는 가질 수 있는 값의 범위를 제한하여 격리한다. 그런데 사실, 잘 설계하면 셀수 없이 늘어나는 것을 담을 수 있게 설계는 할 수 있다(물론 메모리가 충분히 커야하는 것은 어쩔 수 없다)

 

돌이켜보면 0과 1사이의 유리수 값이나, 전체 정수값이나 사실은 본질은 같은 것이다. 왜 그런가 하면 두 무한한 수 체계를 나타내기 위해 구현해야 하는 컴퓨터 코드가 크게 다르지 않기 때문이다.

 

즉 유리수와 정수는 생긴 모양은 다르지만 무언가 특정해야할 하나의 값이고, 같은 비용을 들여서 구현할 수 있다는 말이다. 생긴 것은 다르지만 1:1로 매핑이 가능한 본질적으로 같은 구현으로 해소가능하다.

 

예를 들면, 무한의 수를 나타내는 것은, 앞서의 고정된 메모리를 범위로 간단히 할당하는 것 외에, linked list같이 나타낼 수 있다. 

 

가장 간단하게는 2진수를 무한히 표기할 수 있도록 하는 방법을 생각해보자.

 

2개의 bit를 가지고 그 왼쪽 bit는 더 상위비트가 존재하는지, 오른쪽 bit는 그 자리수의 bit값 형태로 나타내고 필요에 따라 계속 2개의 bit씩 늘려가면 무한한 값을 encoding할 수 있다.

 

실제 예를 들면, 자리수가 정해진 1 0 1 (2)는  11 10 01 (encoded 2, 앞 bit가 다음 자리수의 존재여부) 같은 형태로 나타낼 수 있다는 말이다. 그러면 이 체계는 곧바로 정수와 유리수 모두를 나타냄에 있어서 사실 크게 다르지 않다. 칸토어가 제시한 1:1 대응 방법으로 이름만 붙이면 그만인것이다. 그 두개의 집합은 같은 무한의 체계이며 기계적인 구현이 같다.

 

칸토어의 업적은 따라서 무한의 수 체계를 기계적으로 나타내기 위한 구체적인 구현 동의성을 나타냈다라고 은유할 수 있다. 그렇게 인류는 무한을 기존의 여러가지 추상적인 관점에서, 더 구체화하여 이해했다고 생각한다.