대칭과 일반화 2, 다차원상에서의 대칭

앞서는 1차원상에서 대칭을 통해서 정수를 전개할 수 있음을 알았는데, 그러면 다차원에서의 대칭은 무엇일까? 이에 대한 답을 찾아가는 과정에서 여전히 대칭의 핵심 개념은 "다르지만 같은" 존재이다. 즉 관점(축)을 바꿔도 이전과 같게 보이는 것이 대칭 관계 구성의 핵심이다.

 대칭을 위와 같이 "바뀐 관점"에서 기존과 동일한 것을 다룬다면, 대칭의 핵심은 또한 "바뀐 관점" 즉 변환에 있다는 사실을 알 수 있다.

 

 이전에 소개한 1차원상의 0점을 기준으로 거울로 바라보는 관계에 있는 곳의 위치가 바로 이런 대칭 관계를 구성하는데, 이렇게 동치를 만드는 축이 x축, -x축(x축을 뒤집어서 음양의 방향이 바뀐것) 2가지의 축 구성 방식이다.

 

아래 이 2가지 축을 살펴보자.

0을 기준으로 방향이 바뀌면 이 1, -1은 사실은 같은 점으로 볼 수 있다.

 

그런데 축, 즉 좌표계는 '관점'에 따라 다양한 대칭을 창조해 내도록 할 수 있다. 바로 앞 처럼 간격이 일정한 좌표계가 아니라 간격이 달라지는 좌표계라고 하면 조금더 다른 대칭을 만들 수 있다. 예를 들면 이런건 어떤가? 일반 적인 상황에서는 전혀 대칭이 아니라고 생각되지만 변환의 정의나 축의 모습을 다르게 하면 일련 대칭이라고도 볼 수 있다. 즉 대칭은 변환이 서로 같으면서 다른것이 될 가정만 만족하면 성립된다.

 

간격이 다른 이상한 좌표계에서의 대칭은 이럴 수도 있다.

 이렇게 기존의 우리가 알던 대칭이(반사 대칭, 미끄럼 대칭, 회전 대칭 등) 특정한 가정하에서 벌어지고 있음을 알게 되면, 대칭은 가정에 따라 정의되기 나름이라는 사실도 곧바로 알 수 있다. 대부분의 수학자들 사이에 논의되는 대칭은 평등하다고 생각되는 기준에 의거하는데, 대체로 1차원을 예로 들면 0을 기준으로 거울대칭이 그 대표적인 예(첫번째로 예를 들었던)가 되겠다.

 

 그러면 2차원 대칭에서의 대표적인 거울대칭과 회전대칭 등은 어떻게 규정할 수 있을가? 사실은 3차원에 익숙한 우리가 2차원을 바라볼때, 2차원에서 벗어나서는 뒤집고 뒤틀어서 다시 돌아가도 서로 등가라고 생각한 변환들에 의거한다. 조금더 구체적으로 말하자면 x,y,z축이 자유롭게 변환되지만 scale이 달라지는 상황을 가정하지는 않는다. 상식적인 수준에서의 대칭이 다뤄진다고 이야기할 수 있을까.

 

 더 자세히 기술해보면 거울대칭은 축의 음,양의 방향 전환을 의미한다. x축이면 -x축으로 뒤집힌 것이고, y축이면 -y축으로 뒤집힌 것이다. 음과 양의 방향이 앞서 서술한대로 "같으면서 다른", "뒤집힐 수 있는 임의적인" 것 이라는 점을 생각해보면 어렵지 않게 이 둘이 대칭관계가 본능적으로 인지됨을 알 수 있다.

 

 미끄러짐 대칭은 축의 전환이다. x축과 y축을 서로 바꾸면 된다. 

 

 회전대칭은 조금더 어려운데 x,y축이 상호간의 방향을 유지한체 말그대로 회전하고 있는 것이다. 0점을 기준으로 원을 그린다음에 축을 조금씩 돌려나가면서 생기는 대칭을 다룬다. 이렇게 3개의 기본 대칭을 다루는 것이 2차원의 대칭이다.

(그리고 조금 생각해보면 서로의 대칭들 간에 관계가 있음을 알 수 있다. 회전대칭을 이루는 축 변화의 특정한 형태(90도, 190도, 270도 등)가 바로 거울대칭과 미끄러짐 대칭의 특정 유형의 일부이다. 그러나 신기하게도 회전만으로는 거울/미끄러짐 전체를 구성할 수는 없다.

 

90도 축 회전의 연속시 축 변화

 

x,y의 방향변화 각 4개 * 축 교환 2개 = 8가지 경우 (빨간색은 회전변환으로 생성가능)

 여기서 단순하게 차원별로 몇개의 대칭관계를 지닌 축의 유형이 존재하나를 추적해보다. 단 여기서는 회전대칭은 논의에서 빼자. 회전 대칭은 사실은 수없이 많으므로(무한대) 다루기가 까다로워 져서, 거울대칭과 미끄러짐 대칭 즉 음/양 방향전환과 축 교환만을 염두해두자.

 

1차원에서는 2개의 축 구성 방식이 존재한다. x축 하나의 음과 양의 방향 2가지 축 구성 방식이 있다.

2차원에서는 8개의 축 구성 방식이 존재한다. x,y 2개 축의 음양이 각각 2개이며, 여기에 x,y의 축 교환 2개 조합이 있다.

3차원에서는 18개의 대칭쌍 유형이 존재한다. x,y,z 3개 축의 음양이 가각 2개이며, x,y,z의 축 교환 6개(=3!)이다.

 

그래서 n차원에서는 n*2*n! 축 구성 방식이 존재한다는 것을 알 수 있다.

 

차원	대칭쌍 유형	수식
1차원	1	1*2*1!
2차원	8	2*2*2!
3차원	36	3*2*3!
4차원	192	4*2*4!
5차원	1,200	5*2*5!
6차원	8,640	6*2*6!
7차원	70,560	7*2*7!
8차원	645,120	8*2*8!
9차원	6,531,840	9*2*9!
10차원	72,576,000	10*2*10!
11차원	878,169,600	11*2*11!
12차원	11,496,038,400	12*2*12!
13차원	161,902,540,800	13*2*13!
14차원	2,440,992,153,600	14*2*14!
15차원	39,230,231,040,000	15*2*15!
16차원	669,529,276,416,000	16*2*16!
..	..	..
24차원	29,781,523,283,195,493,089,280,000	24*2*24!

 

24차원의 공간에서는 사실상 우리가 임의 좌표 축을 그리면 그에 대응되는 대칭 좌표축이 자연스럽게 저렇게나 많이 존재한다(물론 모든 축간의 교환이 동등한 경우에 말이다). 그리고 그 한 방식은 저렇게 수많은 방식과 사실은 같은 대칭 관계를 구성하게 해준다.

 

차원이 확대될때의 대칭의 의미에 대해서 제대로 숙고된 별도 자료를 찾을 수 없어 개인적인 메모를 일단 올린다. 향후 잘 정의된 일반화를 찾게 되기를 바란다.