음수 -1 과 음수 -1 을 곱하면 왜 양수 1이 되나요? 그 안에 숨겨진 수학적 진실과 인간의 인지 한계에 대해서

 책 "허수(Imagaing numbers)"를 쓴 배리 마주르(Barry Mazur)가 지적했듯이, 음수와 음수를 곱하면 양수가 나오는 것은 의외로 어린 학생들에게 설명하기가 어렵다. 그것은 6개가 든 사과 봉지가 2개가 있을때 전체가 12개가 된다는 6*2=12가 굉장히 자명한 것과는 차이를 보인다. -6을 두번 곱하면 -12가 되는 것도 그렇다 치자. 그런데 왜 -1과 -1을 곱하면 1이 되는가?

 

 정답은 수학 연산체계가 즉 교환법칙이나 결합법칙 등 여러가지 면에서 모순적이지 않기 위해서는 그것이 양수가 되어야 한다는 점이다. 

 

 (-1) * 0 = 0

 (-1) * (-1 + 1) = 0

 (-1)*(-1) + (-1 * 1 ) = 0

 (-1)*(-1) + (-1) = 0

(-1)*(-1) = 1

 

 그런데, 이 설명은 좀 납득하기 어려운 점이 있다. 앞서 6개가 든 사과 봉지가 2개가 있으면 12개가 되듯이, 눈으로 보이는 직관적인 설명을 하기가 어렵기 때문이다.

 

 이런 문제는 수학에서 드물지 않다. 논리적으로는 그러하다는 것을 따라가보면 맞는데, 직관적으로 마음에 와닿지 않는다. 그래서 이 음수에 대한 질문이 가치있는 이유는 이러한 아주 단순해보이며 수학적으로 자명한 진실이 왜 설명하기 어려운지를 우리가 생각해보아야 한다는 점이다. 예를 들면 허수라는 것은 존재하지도 않는데 대체 무엇이고 sqrt(2)="루트2"는 왜 피타고라스 학파가 존재하지 않는 수라며 비밀로 했을까?

 

 이 "설명 난해함"에는 중요한 함의가 숨어있는데, 바로 수학적 체계와 인간 인지의 차이에 대한 내용이다. 그 간격을 이해하면 이 난해함이 자명해지는 것을 알 수 있다.

 

 인간의 인지는 기본적으로 태양계의 지구라는 곳에서 생존하기 위해 진화한 지능에 근거한다. 자연계의 생존 경쟁을 위해서 머리를 써서 예측해야했고, 가끔은 중력의 포물선이 머리속에 들어있는 것이 아닌가 할 정도로 우아하게 멀리서 날아오는 공을 잡아낸다.

 

 반면에 수학은 대칭과 보존, 변화 등이 얽혀 있는 논리 체계이다. 그것은 일반화, 무모순 여러가지 것들을 필요로 하며 -1 과 -1 이 곱하면 당연히 1이 되는 체계이다.

 

 그래서 인간의 인지 체계와 수학의 대칭체계는 일부 부조화한다. 이를테면 양수 곱은 이해할 수 있지만 음수 곱은 어렵다. 만약에 인간이 수학의 논리체계가 모두 극명히 드러나는 환경에서 진화했다면 수학 전체가 이렇게 어렵지 않을 것이다. 그것은 마치 인간이 미시세계에서 살아왔더라면, 그 알 수 없는 양자역학을 던지는 공의 움직임을 쉽게 이해할 수 있는 것처럼 깨달을 수 있을 것이라는 기대와 비슷하다. 그러나 인간은 거시세계의 동물이며 거기서 진화한 생명체이다. 이 세상이 수학적이라고 필자는 믿지만, 인간이 처한 환경은 그러한 수학의 일부분만을 경험할 뿐이다. 그것은 전체 수학의 모습과는 괴리가 있다. 그리고 이러한 괴리는 서로가 자명한 상황에서도 "설명 난해함"을 만들어 낸다.

 

 오히려 이런 관점에서는 인간이 수학을 만들어 내고, 완성해온 과정이 놀랍다. 인간이 가진 인지와 수학 체계의 어긋남을 이겨내기 위해, 여러가지를 상상하고 논리적으로 다시 시도해봄으로써 인간은 한단계 한단계 이 거대한 수학체계를 발전시켰다. 자신이 이해할 수 없는 것도 가정하며 앞뒤의 퍼즐을 맞추자, 듣도 보도 못한 '허수'가 탄생했으며, 그것이 원래 이 수학 체계안에 존재하는 것이라는 것을 깨닫는 것도 그러한 역사의 일환이다. 그렇게 자신의 인지 경험과 어울리지 않는 이 수학의 논리 체계를 어렵게 어렵게 확장해 받아들이고 있다고 볼 수 있다.

 

 여기서 재미있게도, 수학자라는 직업을 가진 이는 일반인 대비 수학 체계에 대해서 더 잘 이해하고 받아들인다. 방정식을 보면 마치 눈에 빤히 보이는 물고기의 움직임처럼, 일반인이 전혀 알아내지 못하는 것을 바로 집어낸다. 그래서 이 아름다운 대칭 체계를 머리 속에 일반 사람보다 더 잘 그리면서 이해하고 그것을 직업으로 선택한 사람들을 우리는 수학자라고 부른다. 그러나 그럼에도 불구하고 인간이 가진 깊은 인지 체계와 논리 체계의 수학 사이에는 어쩔 수 없는 괴리가 존재한다. 그것이 더 빠르게 이 분야가 발전되지 못한 이유이며, 상상 외에는 탈출구가 없었던 이유다.

 

 이런 관점에서 수학의 궁극적으로 완성된 체계는 무엇일까? 만약에 우리가 수학에 완전히 익숙해진 지능을 갖고 태어났다면, 음수와 음수를 곱하면 양수가 된다는 사실이 마치 숨을 쉬는 것처럼 자연스럽게 느껴지는 지능을 부여받았다면 우리는 어디까지 완성해낼 수 있을까? 그 지향점은 어떻게 될까? 지금까지 다양한 상상으로 한걸음 한걸음 진화시켜왔고, 완전히 새로운 수학 분야를 열어가며 앞으로 나간 천재들이 그리는 방향은 무엇일까?

 

 정답을 알아서 질문하는 것은 아니다. 여기에 대답하기 위해서는 수학의 모든 일반적인 것들이 숨쉬는 것처럼 자연스러운 지능을 만나야 할텐데, 계속 우리는 훈련에 의해서 그러한 이들을 만나게 되고 있는 것인지 모르겠다. 대칭과 보존의 체계 속에서 그것들을 일반화하고 더 쉽게 개념화하는, 더 많은 것을 더 단순하게 설명하는 이들이 그들이며 그 방향이다. 인간의 인지 체계를 조금더 수학적인 것에 적응하려고 노력하고, 지속적으로 위 방향을 추구하는 이들이 더 큰 답을 찾아나가지 않을까? 인간의 인지와 수학 체계의 괴리가 무엇인지 더 잘 이해하고, 수학 체계가 지는 방향에 맞추어 더 끊임없이 일반화해나가는 노력만이 이 분야를 확장할 수 있지 않을까. 어찌보면 당연한 이야기지만 한번쯤은 곱씹어볼 일이다.