이 글은 아래 기록에 따른다. 이미지를 발췌하였다.
https://pointatinfinityblog.wordpress.com/2016/04/07/aristotles-wheel-galileo-and-the-jesuits/
Aristotle’s Wheel, Galileo, and the Jesuits
Today, we look at another classical paradox: Aristotle’s wheel. The paradox was introduced in the text Mechanica, attributed, not without controversy, to Aristotle. It runs as follows. Consid…
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여러 방송매체에서 다뤄왔듯이 원통을 굴리는 실험을 해보면 생각보다 신기한 일이 펼쳐진다.
재미있는 것은 분명히 서로 다른 지름을 가진 두원이 지나왔는데, 빨간색의 두 직선처럼 길이가 같아진다. 그리고 더 흥미로운 사실은 많은 이들이 지적하듯이 저기에 빨간 줄은 없지만, 이 원통의 중심이 이동하는 궤적이다. 이 원통의 중심은 원도 아니고 점이다. 엄밀히 말하면 지름이 0인 원이라서 둘레의 길이가 없는데, 결과적으로 직선이 만들어진다.
이것은 마치 점으로 선분을 만드는 것과 같다. 이와 비슷한 일이 바로 제논의 역설과 같다. 거북을 따라잡는 아킬레스는 늘 거북이와의 절반의 점을 지나야 하는데, 절반을 가도 또 절반이 남고, 또 절반이 남기 때문에 무한이 많은 점을 거쳐야 한다는 점이다. 그래서 결국 거북이 보다 훨씬 빠른 아킬레스도 거북을 따라 잡을 수 없다는 역설이다. 사실 이 역설과 위의 둘레가 0인 점이 직선을 만드는 것은 크게 다르지 않아 보인다.
이런 역설들은 무한대와 무한소가 서로를 상쇄하는 형태로 해소된다. 서로 다른 두개의 무한이 서로를 상쇄하여 결국은 유한한 무언가로 바뀌게 된다. 두개의 서로 다른 지름의 원도, 동일한 길이의 직선에 모든 점이 대응될 수 있다. 아킬레스는 거북을 따라 잡을 수 있다. 그리고 위 원통도 현실에 볼 수 있듯이 수학적으로 명확하게 둘레가 0인 이 점이 직선을 이룰 수 있다. 두개가 달라보여도 서로 1:1로 대응해서 넘어서면 그만이다. 만약에 자연이 실수로 이루어져있다면 0과 1 사이의 실수나 0과 2사이의 실수가 같다는 것을(두개가 1:1로 대응 가능한 무한이라는 점을), 수학은 그림으로 증명하고 있는 셈이다. 멋지지 않은가? 눈으로 봐도 칸토어의 시도가 곧바로 보인다.그리고 그것이 증명되어야 위 원통이 굴러가지 않겠는가? 위 0~1 사이의 모든 실수와 0~2사이의 모든 실수에 대한 간단한 1:1 매핑 방법은 독자들을 위해서 남겨두겠다.
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