소수(prime number)는 왜 불규칙하고 결정되지 못한가? 2

전에 소수가 특정 수를 압축하여 나타내는데 사용될 수 있다고 묘사하였다.

즉 에라토스테네스의 체를 생각해보면 알게 되듯이, 소수는 수를 대칭으로 분할했을때( https://infoengineer.tistory.com/31 ) 나오는 "연속"을 처리할때 더 단순화 하는 방법이다.

 

무한의 수 중에서 2의 배수들은 2의 n번 반복으로 재정의 된다. 그러면 1의 2n번 반복보다는 2배 더 단순화할 수 있게 된다. 이렇게 3의 배수는 3의 n번 반복이다. 5의 배수는 5의 n번 반복이다.

 

그리고 이 n번 반복은 또다시 소수를 가지고 인코딩하면, 가장 단순한 형태의 수로 나타낼 수 있게 된다.

그런데 이전에 밝혔듯이 이보다 더 단순화를 할 수가 없다.

 

소수들은 1이 아닌 무언가의 반복으로 나타낼 수 없기 때문이다. 따라서 소수는 숫자를 반복으로 나타내는 구조에서 더이상 압축하여 나타낼 수 없는 정보가 된다.

 

소프트웨어 엔지니어가 이를 구현한다고 하면 소수는 테이블을 필요로 한다.

즉, 아래와 같은 소수 테이블에 의거하여 그것을 반복하는 형태의 인코딩을 해서만이 모든 수를 복원할 수 있다.

    1번배열 - 2 (첫번째 소수)

    2번배열 - 3 (두번째 소수)

    3번배열 - 5 ..

    4번배열 - 7 ..

    5번배열 - 11 ..

    ..

그리고 이 각각의 소수들은 동등한 권한을 갖는데 어차피 서로가 서로를 반복해서 곱해서 표현할 수 없기 때문이다. 따라서 말 그대로 숫자의 독특한 '원자'로서 작동하게 된다.

 

만약에 숫자를 소수의 곱으로 압축하는 방법과 같이, 이 소수를 조금더 압축하는 방법이 있다고 하면(결국 가우스가 소수의 규칙을 찾으려는 시도를 한 것은 이것과 같은 의미라고 생각한다. 저 소수 테이블을 쓰는 방법보다 더 단순한 구현방법을 고민한 것이다. 무한대의 전체 숫자를 나타낼 수 있는 방법 말이다) 얼마나 획기적인가? 다시 한번 다양한 숫자를 압축해서 나타낼 수 있게 된다. 즉 그 규칙을 통해 엄청나게 큰 숫자도 적은 정보로 나타낼 수 있다. 매핑 테이블 하나만 가지면 말이다. 그 매핑 테이블이 과연 무엇이냐가 소수의 규칙을 찾는 문제와 같다.

 

 

조금 이야기를 돌려보면, 그래서 소수는 모든 지성을 가진 존재(외계인이라고 쳐보자)들은 발견하게 될까?

 

그렇다고 생각한다. 언제 만나게 되냐면 세상의 모든 수를 압축해서 표현하고 싶을때 나타나게 된다. 정보를 줄이려는 자는 소수와 만나게 되어 있다. 그리고 이 소수는 예측 불가능하며 섞이지 않고 결국에는 알고리즘이 아니라 테이블로 만들어서 관리할 수 밖에 없다는 사실을 깨닫게 되는 것이다.

 

이렇게 소수와 소프트웨어의 압축과의 관계를 조금 더 풀어 써보았다.