정보엔지니어 (맥스웰의 도깨비, 양자컴퓨터)

앞서는 1차원상에서 대칭을 통해서 정수를 전개할 수 있음을 알았는데, 그러면 다차원에서의 대칭은 무엇일까? 이에 대한 답을 찾아가는 과정에서 여전히 대칭의 핵심 개념은 "다르지만 같은" 존재이다. 즉 관점(축)을 바꿔도 이전과 같게 보이는 것이 대칭 관계 구성의 핵심이다.

 대칭을 위와 같이 "바뀐 관점"에서 기존과 동일한 것을 다룬다면, 대칭의 핵심은 또한 "바뀐 관점" 즉 변환에 있다는 사실을 알 수 있다.

 이전에 소개한 1차원상의 0점을 기준으로 거울로 바라보는 관계에 있는 곳의 위치가 바로 이런 대칭 관계를 구성하는데, 이렇게 동치를 만드는 축이 x축, -x축(x축을 뒤집어서 음양의 방향이 바뀐것) 2가지의 축 구성 방식이다.

아래 이 2가지 축을 살펴보자.

그런데 축, 즉 좌표계는 '관점'에 따라 다양한 대칭을 창조해 내도록 할 수 있다. 바로 앞 처럼 간격이 일정한 좌표계가 아니라 간격이 달라지는 좌표계라고 하면 조금더 다른 대칭을 만들 수 있다. 예를 들면 이런건 어떤가? 일반 적인 상황에서는 전혀 대칭이 아니라고 생각되지만 변환의 정의나 축의 모습을 다르게 하면 일련 대칭이라고도 볼 수 있다. 즉 대칭은 변환이 서로 같으면서 다른것이 될 가정만 만족하면 성립된다.

 이렇게 기존의 우리가 알던 대칭이(반사 대칭, 미끄럼 대칭, 회전 대칭 등) 특정한 가정하에서 벌어지고 있음을 알게 되면, 대칭은 가정에 따라 정의되기 나름이라는 사실도 곧바로 알 수 있다. 대부분의 수학자들 사이에 논의되는 대칭은 평등하다고 생각되는 기준에 의거하는데, 대체로 1차원을 예로 들면 0을 기준으로 거울대칭이 그 대표적인 예(첫번째로 예를 들었던)가 되겠다.

 그러면 2차원 대칭에서의 대표적인 거울대칭과 회전대칭 등은 어떻게 규정할 수 있을가? 사실은 3차원에 익숙한 우리가 2차원을 바라볼때, 2차원에서 벗어나서는 뒤집고 뒤틀어서 다시 돌아가도 서로 등가라고 생각한 변환들에 의거한다. 조금더 구체적으로 말하자면 x,y,z축이 자유롭게 변환되지만 scale이 달라지는 상황을 가정하지는 않는다. 상식적인 수준에서의 대칭이 다뤄진다고 이야기할 수 있을까.

 더 자세히 기술해보면 거울대칭은 축의 음,양의 방향 전환을 의미한다. x축이면 -x축으로 뒤집힌 것이고, y축이면 -y축으로 뒤집힌 것이다. 음과 양의 방향이 앞서 서술한대로 "같으면서 다른", "뒤집힐 수 있는 임의적인" 것 이라는 점을 생각해보면 어렵지 않게 이 둘이 대칭관계가 본능적으로 인지됨을 알 수 있다.

 미끄러짐 대칭은 축의 전환이다. x축과 y축을 서로 바꾸면 된다. 

 회전대칭은 조금더 어려운데 x,y축이 상호간의 방향을 유지한체 말그대로 회전하고 있는 것이다. 0점을 기준으로 원을 그린다음에 축을 조금씩 돌려나가면서 생기는 대칭을 다룬다. 이렇게 3개의 기본 대칭을 다루는 것이 2차원의 대칭이다.

(그리고 조금 생각해보면 서로의 대칭들 간에 관계가 있음을 알 수 있다. 회전대칭을 이루는 축 변화의 특정한 형태(90도, 190도, 270도 등)가 바로 거울대칭과 미끄러짐 대칭의 특정 유형의 일부이다. 그러나 신기하게도 회전만으로는 거울/미끄러짐 전체를 구성할 수는 없다.

 여기서 단순하게 차원별로 몇개의 대칭관계를 지닌 축의 유형이 존재하나를 추적해보다. 단 여기서는 회전대칭은 논의에서 빼자. 회전 대칭은 사실은 수없이 많으므로(무한대) 다루기가 까다로워 져서, 거울대칭과 미끄러짐 대칭 즉 음/양 방향전환과 축 교환만을 염두해두자.

1차원에서는 2개의 축 구성 방식이 존재한다. x축 하나의 음과 양의 방향 2가지 축 구성 방식이 있다.

2차원에서는 8개의 축 구성 방식이 존재한다. x,y 2개 축의 음양이 각각 2개이며, 여기에 x,y의 축 교환 2개 조합이 있다.

3차원에서는 18개의 대칭쌍 유형이 존재한다. x,y,z 3개 축의 음양이 가각 2개이며, x,y,z의 축 교환 6개(=3!)이다.

그래서 n차원에서는 n*2*n! 축 구성 방식이 존재한다는 것을 알 수 있다.

24차원의 공간에서는 사실상 우리가 임의 좌표 축을 그리면 그에 대응되는 대칭 좌표축이 자연스럽게 저렇게나 많이 존재한다(물론 모든 축간의 교환이 동등한 경우에 말이다). 그리고 그 한 방식은 저렇게 수많은 방식과 사실은 같은 대칭 관계를 구성하게 해준다.

차원이 확대될때의 대칭의 의미에 대해서 제대로 숙고된 별도 자료를 찾을 수 없어 개인적인 메모를 일단 올린다. 향후 잘 정의된 일반화를 찾게 되기를 바란다.

"자연이라는 커다란 책은 그 책에 씌어 있는 언어를 아는 사람만이 읽을 수 있다. 그 언어는 수학이다"

                                                                                                         -갈릴레오 갈릴레이

 일단 먼저 답부터 적자. 제목의 답변은 "숫자 체계는 대칭과 반복이라는 것들을 서로 모순없이 잘 정의하여, 그것들이 어떻게 반복되든 모순없는 결과를 내준다. 이런 속성이 자연과 수학이 일치하기 때문에 수학이 자연을 기술하는 언어가 되었다"이다. 무슨 이야기일까..

 외계인이 지구에 와서 본인들이 보유한 수학을 우리의 것과 비교한다고 가정하자. 그것들은 우리의 것과 어떻게 다를까? 숫자에 숨어있는 근원은 무엇이고, 왜 수학은 자연을 기술할 수 있는 언어인가(혹은 어떤 속성이 있길래 자연과 닮았는가?) 덧셈과 곱셈과 로그는 얼마나 특이한 것인가? 이러한 질문들에 대한 고민들은 우리가 가진 수 체계가 어떤 특성에서 출발했는지 살펴봄으로써 조금더 깊게 이해할 수 있다고 믿는다.

 빠르게 진행하기 위한 최초 진술을 시작해보자. 정말로 숫자에 숨어있는 가장 근원적인 원리란 무엇인가?

 그것은 "대칭"이다

 왜 맨 처음 시작에 대칭이라는 화두가 나올까? 사실 세상의 모든 숫자는 1,10,100 등 어떤 숫자의 조합이 아닌 고유의 명사(사과, 바나나처럼)가 있을 수도 있었는데, 그렇게 모두 각각 다른 형태의 이름을 붙일 수가 없으니, 몇가지 규칙을 먼저 정한 후(예를들어 0부터 9) 그 확장으로 우리는 명기하고 있다. 이 몇가지 요소들에 기반해 적절한 규칙만 익히면 소개했던 대로 1,10,100 등 어떤 큰 숫자든 나타낼 수 있다. 무한히 존재하는 숫자를 생각해보면 이 과정은 어느 문명에서든 거의 필수이다. 그런데 이러한 것들을 시작하기 위해서는 최초에 어떤 가장 작은 것을 정의해야 하는가? 바로 이때 대칭이 필요하다.

 대칭은 마치 저절로 태어난것처럼 생겨나는 개념이다. 그것은 아무것도 없던 것에서 -1과 +1이 생겨난 것과 같다. 합치면 없어지면서도, 아무것도 없는 0을 중심으로 거울처럼 반대쪽에 서 있다. 내가 여기에 붙인 숫자라는 거추장스러운 기호를 무시해버리고 머리속에 순수한 개념으로 그려보라. 그러면 이 둘은 말 그대로 다르면서도 같다. 서로 균형을 이룬다. 왜냐하면 원래부터 아무것도 없던 것에서 서로를 의지하면서 생겨났기 때문이다.  

자 그러면 거두절미하고 이 운명적인 3개에 존재에 기호를 붙여보자. 우리가 가진 숫자를 차용해서. 헷갈리지 말아야 할 것은 그 숫자 그대로 이해하기 보다는 완전히 추상적인 두 존재로 간주해나가자는 것이다. 0은 아무것도 없으며 중심 축이므로 혼자서 설 수 있고, 나머지 -1과 +1은 0을 사이에 두고 서로를 의지해 존재한다.

"-1, 0, +1"

 "-1, +1"은 사실 십진수인 아라비아 숫자를 생략해버리고 +, -로 이름붙여도 되고, +3, -3으로 해도 된다. 무엇이든 상관없다. 하지만 우리가 아는 1,2 같은 것은 좀 곤란하다. 그 둘은 합쳐서 아무것도 없는 것이 아니다.

 +1, -1 대신 -1, +1로 불러도 된다. 대칭은 서로 바꾸어도 달라지지 않는다. 양수와 음수는 다르다고 주장할 수 있겠으나 그것은 우리가 그렇게 부여했기 때문이고, 여기서의 -1,+1은 서로 동등한 다른 두 녀석이다. 한 존재가 없으면 다른 존재는 바로 의미를 상실한다. 둘이 자리를 바꾸어도 아무 문제가 없다. 서로에 의해서만 의미있게 정의될 수 있다.

 결국 다시 말하면 아무것도 없던 0에서, 서로 마주보는 -1, +1이 탄생했다. 여전히 그 이름에 속박되지 말고 순수하게 머리속에 떠올려보자.

 그리고 이 3개 간의 관계 중에, 0에서 -1로, 0에서 1로 두 객체간의 관계를 각각 동일 반복해보자. (이 반복이라는 말을 좀더 우아하게 정의할 수 있지 않을까? 일단 여기서는 이 반복이라는 것은 연산과 계산이라는 것에 맞닿아 있다고 생각한다. 상태는 대칭으로 기술되고 그 상태의 변화의 가장 기본적인 핵심은 이 동일 반복이다.)

 결국 이는 0과 나머지 두 대칭 객체들을 하나의 정해진 단위로 정의하고 그것을 반복해서 확장하는 과정이다. 띄엄띄엄하며, 정규화된 블록 1개에 같은 블록 1개를 가져다 붙이는 것과 같다. 우리가 익숙한 기하학인 직선 선분 상에서 확장하는 과정을 보면 쉽게 상상할 수 있다. 거듭반복할때마다 이름을 붙이는데, 편의상 십진수로 만들어 한번 반복할때마다 -1, +1 방향으로 그 만큼 이름을 붙인다. 이 반복에서 주의할 점은 기존과 같은 것을 복제 반복해서 확장하는 것이다.

 대칭에 연관된 객체 3개가 제시된 이후로 그 객체간의 관계를 반복하는 것 외에는 새로 등장한 개념은 없다.

"이렇게 반복해가면서 정의하면 정수가 탄생한다."

 우리가 가진 숫자 기호를 처음부터 사용해서 반복했기 때문에 당연하다고 할 수 있으나, -A, +A를 가지고도 만들 수 있고 심지어 -3, +3으로도 만들 수 있었다. 그러나 똑같은 방식으로 만든 숫자 체계는 동일하게 매핑(대응)된다. 이 대응이 중요하다. 뭘로 만들었든 이 정수 체계는 동일한 역할을 수행할 수 있고 근본은 같다.

"대칭에서 탄생한 3개의 객체간에서 축과 두 대칭요소의 2가지 관계를 반복한다."

그리고 외계인이 무엇을 만들었든 이 정수와 매핑되는 것이 있을 소지가 매우 크다. 왜냐하면 이것들은 대칭의 균형을 매우 기초적인 단계에서 확보하고 있는 가장 기본적인 기호 체계이기 때문이다. 다른 모든 것의 확장 기반이 된다.

 그리고 자연스럽게 앞의 '반복'을 좀더 확장한 덧셈이 탄생한다. 그렇다 앞서 주장한대로 연산들의 가장 근원은 반복이며, 최초로 확장은 덧셈이다. 대칭으로 구성된 체계는 몇번을 동일 반복 해가느냐에서 이 덧셈이 자연스럽게 탄생한다. 기호를 정해서 이 복제를 연산자로 표시해보자. 

A+B = A번 반복하고 B번 반복한다 = B+A = B번 반복하고 A번 반복한다

 사실은 앞서 기술한 것처럼, 예컨데 3이라는 숫자는 (0,1)의 관계를 3번 반복했다는 연산을 이미 함축하고 있다. 더하기란 A라는 반복 연산 후 B라는 반복 연산을 연속 시행했을때, 결과적으로 C라는 반복연산을 수행했다는 것을 간편하게 나타내고자 할때 사용하는 기호이다. (그리고 개인적으로 이 덧셈 연산 등은 모두 미지수 x를 구하는 문제 때문에 탄생했다고 나는 생각한다. 미지수 x는 대칭을 성립시켜야 하는 의무 속에 이 수 체계의 모든 확장을 강요받게 된다. 나중에 더 논해보자.)

 그리고 여전히 중요한 것은 대칭을 유지하는 것인데, (0,-1)관계를 반복하는 것을 -반복, (0,+1)관계를 반복하는 것을 +반복이라고 했을때, n번 +반복하고 n번 -반복하면 0이 되어야 한다.

 그러면 이제 덧셈기호를 차용해 A+x = C라고 하자. A번 반복하고 x번을 반복했더니 C번 반복한게 되었다. 그러면 x번은 몇번 반복한것인가? 사실 여러가지 경로를 통해 뺄셈이라는 연산이 자연스럽게 등장할 수 있다. -반복은 +반복의 대칭 관계에 있다. 서로 반복해서 상쇄되는 관계를 지닌다.

                 A-B = A번 반복하고 그 복제의 대칭을 B번 반복한다 

결국 뺄셈이라는 연산은 대칭 체계 안에서는 아직 밖으로 벗어나지 않는 연산이며 그 안에서 정의된다.

"이렇게 외계의 숫자를 만나도 덧셈 확장이 존재하고, 그 덧셈 확장은 대칭 숫자와 결합된 뺄셈확장을 존재시키게 된다."

 반복과 대칭만 가지고 앞서 3개의 기호간의 관계를 복제해서 확장시키면(-1, +1은 두개는 대칭이므로 따로 조합해 확장할 수가 없고, 0과 나머지 두개끼리만 가능하다) 자연스럽게 반복을 쉽게 해주는 덧셈이라는 계산이 생겨나고, 이 덧셈이라는 복제를 대칭에 있는 다른 것과 모순없이 같이 잘 정의해야만 이 수체계에서 미지수 x를 구할 수 있다.

 갑자기 이 미지수 x가 튀어나왔는데 앞서 밝힌대로 모든 대칭관계를 완벽하게 만들어 주는지 검증할 때도 사용할 수 있다. 예를 들면,

A+x = B

이다. A번 반복하고 x번 반복하면 B가 되는데 이 x번은 몇 번이냐이다.  잘 알려진대로

A+x = B

A+x-A = B-A

        x = B-A

로 나타낼 수 있다. 대수(algebra)적인 문제를 풀려면 이 대칭(연산을 포함해)들이 모두 맞아 떨어져야 쉽게 풀린다. 어떤 경우든 풀려고 한다면 모든 대칭관계가 완벽해야 한다. 반대로 대칭이 완벽해야 모든 경우에 대해 설명할 수 있다. 그렇게 대칭관계의 연산이 모자라면 안풀리는 상황이 생긴다. 만약에 위에서 뺄셈이 정의가 제대로 안되어 있다면, 쉬운 기호를 만들어 x를 구하기 어려웠을 것이다. 그러나 덧셈의 대칭 역할을 하는 뺄셈이 잘 정의됨으로 인해 쉽게 풀리게 되었다.

 우리는 지금까지 "-1, 0, +1 세개를 가지고 확장한 정수 체계와, +1방향 복제와 -1방향 복제를 거듭하는 덧셈과 덧셈의 연산에 대칭을 고려한 뺄셈"을 갖게 되었다. 그리고 이 연산의 과정이 대칭상에 완벽한지 x를 놓고 다양하게 검증할 수 있게 되었다.

이 체계는 정수와 매핑되는 모든 반복 계산의 문제에 답을 줄 수가 있는데, 그 이유는 앞서 이야기한 대칭과 복제(+1방향과 -1방향의 같은 방식의 복제)가 성립되는 기호 체계 안에 있기 때문이다. 그리고 +1과 -1이 대칭의 중간인 0을 갖기 때문이기도 하다. 따라서 이 속성들이 수학 체계가 갖는 매우 중요한 특성이고, 밝힌대로 외계의 숫자와 연산체계를 가지고 오면 이것과 분명히 1:1로 각각 대응하는 것들이 존재할 것들이다.

결국 숫자 체계는 대칭과 반복이라는 것들을 서로 모순없이 잘 정의하여 그것들이 어떻게 반복되든 모순없는 결과를 내준다. 사실은 내가 주장하고 싶은 내용은 바로 이게 핵심이다. 이런 속성이 자연과 수학이 일치하기 때문에 수학이 자연을 기술하는 언어가 되었다는 점이다.

 이후에는 즐겁게 확장해나갈 수 있다. 연산을 빠르게 하기 위해 곱셈(특정 반복을 통째로 복제하는 것)을 도입하면, 그 대칭인 나눗셈이 나오게 되고, 미지수 x를 풀 수 있게 숫자는 실수로 허수로 확장된다.

곱셈이나 나눗셈이 나오면 정수 체계하에서도, 수의 확장이 곧바로 필요해진다.

2/x = 3,  x * x = 2, x * x = -2

등등에 대응해주지 않으면 이 대칭과 확장은 절름발이가 되는데 이 x에 대해 자연수럽게 유리수, 무리수, 복소수가 아주 자연스럽게 도출된다. 그리고 우리 수학체계는 긴 세월동안 이런 것들이 x의 값을 구하는 문제에 당면하여, 모든 상황에서 잘 대칭에 맞게 확장시켜온 것이다. 외계인의 수 체계도 위와 같이 잘 확장되어 있어야 효과적으로 문제를 풀 수 있게 되는 것은 당연하다.

 상호 모순이 없는 대칭의 것들은, 이렇게 한쪽이 도입되면 자연스럽게 반대쪽도 나타나게 된다. 결국 x * x = 2 가 되는 무리수, x * x = -2 가 되는 허수는 이 대칭 체계안에서 자연스럽게 탄생될 운명이다. 3 * x = 2 라고 하면, 3을 과연 몇번 복제해야 2가 되는가 라는 질문인데? 상호 대칭에 모순이 없도록 이 x는 2/3으로 정의될 수 밖에 없다. 새로운 수들은 대칭의 원리에 충실하며 그래야만 상호간에 성립된다. 같으면서도 달라야하는 이 관계를 통해 숫자들은 다양한 상황에서도 거울처럼 상대편을 받치고 반복들을 성립시키기위해 서로서로가 확장된다.

 곱하기/나누기 외에 제곱과 로그가 대칭의 있는 연산인 점도 마찬가지다. 물론 새로운 계산을 정의할 수도 있다. 그리고 이 새로운 계산은 늘 대칭의 짝을 찾게 되어 있다.

 양자역학에서도 이 대칭은 큰 역할을 했다. 지도의 한구석이 빠져있다는 것이 밝혀지면 과학자들은 그것이 존재할것이라는 신기한 믿음을 갖는다. 그리고 여지없이 그것들이 발견되었다. 물론 모든 대칭이 자연에 나타난다고 주장하는 것은 아니다. 대칭의 모순이 없이 항상성을 유지하려면 내놓아야하는 결과를 많은 경우 발견할 수 있는 것이다. 새로운 연산 기호나 수 체계는 그래서 이 대칭관계를 지키는 것이 어떤 모양인지 살펴야만 기존 수체계에 모순없기 결합된다.

 그리고 조금 더 나가보면, 사실 이 논의에서 무한은 빠져있는데, 무한이 위 대칭과 결합하면 연속적인 것까지 모두 다룰 수 있는 수학 체계를 만들어 낼 수 있다. 마무리 되기 전에 간단히 짚어보자.

 무한은 칸토어가 지적했듯이 매핑관계가 핵심이다.

 정수가 확장되고 유리수가 되면서 신기한 일이 일어났는데, 그저 하나씩 더해서 무한하게 커지던 정수 체계가(1에서 계속 1을 더해서 무한하게 되던), 특정 구간, 예를 들면 0과 1사이에 그 무한의 것들이 모두 들어가는 매핑관계가 필요하게 되어 버렸다. 이전에 살펴보던 연산기호 확장 과정에서 곱셈과 나눗셈이 나오면서 등장했던 것을 기억할 것이다. 그리고 가장 오래된 설명은 제논의 역설에 나오는 아킬레스와 거북이다. 거기에는 계속 반씩 줄어드는 유리수의 개수가 무한하다는 사실이 등장한다. 아킬레스는 거북에 반씩 반씩 무한히 접근해야 되므로 다다를 수 없다는 역설이 생긴다. 이렇게

무한한 수가 0과 1사이의 값들에 매핑되는 기호 체계를 요구하는 일이 발생한다.

 그런데 이 매핑만 잘되면 무한의 문제도 해당 수 체계 안에서 다룰 수 있다. 그런데 분명히 우리는 띄엄띄엄한 유한한 기호 체계를 만들어서 시작했는데 어떻게 이런게 가능한가!

 밝힌대로 앞서 곱셈이 등장할때부터 수학은 무학의 문제를 겪었다(0으로 나누는 것이 대표적이다. 제논의 예시처럼 유리수도 0과 1사이에 무한히 존재한다) 그리고 이러한 매핑 가능성이, 현실세계에서 느껴지지 못하는 점이 이 무한을 이해하기 어렵게 만드는 일 중의 하나이다. 무한은 본질적으로 이 매핑관계의 해결에 대한 문제이다. 유한해 보이는 것을 무한한 것에 매핑시키려면 유한한 것을 무한히 쪼개는 수 밖에 없는데, 우리 수학 체계는 이것을 해결해낸 셈이다(유리수, 무리수 등등을 통해서)

 이렇게 수 체계와 대칭, 무한의 관계가 풀리면 수학은 본격적으로 연속된(무한히 확대되어도 부드러운?) 모든 것까지 묘사할 수 있다.

 그리고 앞서 밝혔듯이 대칭의 연산을 통해 항상 일관된 결과를 내는 도구를 갖게 된다. 이 수학을 가지고 우리는 물리학 등을 통해 자연을 묘사하고 있는 셈이다.

 이 과정에서 대칭에 막연한 신비로움을 부여할 수도 있겠으나, 그렇다기보다는 위의 특성을 만족시키는 것(결국 서로 다르면서도 평등한 것)이 바로 축을 중심에 둔 대칭이라고 바꾸어 말할 수 있다. 유사한 등가의 것을 대입하면 이 대칭이라는 것은 다른 말로 기술될 수 있다. 그러나 사실은 본질은 같은 것이다. 대칭상에서 반복과 그 일관성을 찾은 것이 인간이나 외계인이 만들어낼 자연을 기술하는 언어 체계의 특성이다.

위 대칭 관계를 생각해보면, 아무것도 없는 것에서 단순한 것으로 무언가를 체계화 하려면 대칭이 아니면 만들 방법이 마땅치 않다는 것을 알 수 있다. 아무것도 없는 것을 지나 최소한에서 시작해 무엇을 만들어나가려면, 곧바로 대칭을 마주하게 된다. 그리고 그렇게 모든 것을 반복해나가면 사실은 대칭이 아닐 수가 없다. 세상은 복잡해보이지만 계속 파헤치면 원자들이 나타나고 이것들은 대칭성 속에서 완전성을 갖고 있다. 이 과정을 위와 같이 곱씹어 보면, 과연 대칭이 아닌 무엇이 자연을 지탱할 수 있는가 싶기도 하다. 결국 맨 밑의 기초에는 대칭 빼고는 아무것도 존재하지 않게 된다.

급하게 전개했으나 우리가 가진 수학체계를 더 일반화해서 생각 하는데 도움이 되었기를 바란다.

1) 서로 다른 진법이 나타내는 다른 양상, 그리고 진법이란?

1/3 = 0.333333..... 으로 나타내진다. 그런데 3진수로 나타내보면 어떨까?

1/3을 3진수로 나타내면 0.1(3진수)으로 나타낼 수 있다. 신기하게도 순환하지 않는다.

영어로 base, 우리나라 말로는 진법이라 불리는 이 수 기록 체계는, 사실은 2진법, 8진법, 16진법, 60진법, 20진법 등 과거와 현재에 다양한 진법이 존재한다.

이 표기법을 수학적으로 나타내보자면 특정 수를, x의 제곱들로 덧셈 분할한다. 대략 아래 표현식을 보면 이해할 수 있다.

10진법은 위 경우의 조금더 특수한 경우로 앞의 숫자가 자연수이다.

이 진법을 확장할 수 있을까? 가능하다. 2진법부터 시작해서, 허수진법, 무리수진법, 음수진법 모든 것이 가능하다. 다만 앞에 붙는 상수가, 정수 진법이 아닌 경우에는 규칙에 따라 무의미해지는 경우가 있을 수 있다.

결국에는 이렇게 10진법은 자연수와 정수를 가지고 특정 수를 짧게 나타내주는 표기법이라고 볼 수 있다. 그리고 지나치게 길지 않게 하기 위해 자리수를, 10의 제곱수로 늘려나간다. 지수적인 증가를 채택해서 더 큰 수를 짧게 표현할 수 있는 체계이다.

자, 일단 진법은 그렇다고 치고 이 수를 가지고 유한과 무한을 다룰때로 다시 돌아가보자.

왜 1/3은 10진법과 3진법에 순환하는 양상이 다를까.

10진법에서는 무한한 반복으로 나타내야 하는데 3진법에서는 유한한 숫자로 나타낼 수 있을까?

진법의 본질은 제곱수들로 특정 수를 덧셈 분할하는 것이다. 예컨데 1/10, 1/100, 1/1000 의 자연수 조합으로 수를 나타내다보면 반복되어 그것을 메꿔나가야하는 일이 생긴다. 이 거듭제곱수의 패턴에 따라 어떤 것은 유한하게 반복되어 나타내어야 하고, 어떤 것은 딱 떨어진다.

A) 모든 유리수는 어떤 진법이든 무한히, 같은 숫자들의 그룹(진법상의 각 자리수 숫자/순서가 중요한)이 반복되어 표기되는 것으로 나타낼 수 있다. 그러나 어떤 진법에서는 그 반복이 유한한 것이 다른 진법에서는 유한하지 않을 수 있다.

    증명은 필요하나 어렵지 않게 가능하리라고 본다.

그러면 무리수는 어떨까?

무리수(여기서는 작도 가능한 길이로 한정하자)는 어떠한 진법으로도 반복되는 패턴이 나타나지 않는다.

B) 무리수는 어떤 진법이든 무한히 같은 숫자들의 그룹(진법상의 각 자리수 숫자/순서가 중요한)이 반복되지 않는 수의 흐름으로 나타나게 된다. A와 마찬가지다.

조금더 재미있는 추측을 해보면

C) 무리수에서 나타나는 개별 자리수의 정수값들의 반복은(Ex> 3.14159...에서 무한히 소수점 아래 자리수를 늘려나갈때 개별 각 숫자의 출현 분포, 위에서 말한 해당 진법상의 각 자리수 숫자) 균일하게 나타난다. 어떤 진법에서도 마찬가지 양상을 보인다.

중요한 것은 C의 이유인데, 왜 그럴까?

사람들에게 파이(pi)에 대해 똑같은 질문을 하면 본능적으로 각 숫자들(0~9 각각의 출현 빈도)이 유사한 빈도수로 반복되리라는 것을 알고 대답한다. 나는 이것이 사람이 자연에 대해 느끼는 대칭성때문이라고 생각한다(아직 증명이 필요하겠지만). 무한히 반복없이 흘러가는 수의 흐름이 특정 진법에서 어떤 숫자에 편중되는 패턴을 가지고 움직인다고 하면 대칭적이지 않다. 대칭성은 어떤 진법의 무리수에서도 지켜진다고 믿는다.

2) 2진법의 효용성에 대하여

다양한 진법가운데 가장 좋은 것은 2진법이라고 생각한다. 기계적이고 수학적인 접근에서는 2진법이 여러 방면에서 유리하다. 예를 들면 2진법에서의 짝수는 1의 자리수가 0인 것이 짝수이다. 10진법에서 짝수가 끝이 0,2,4,6,8인 것에 비하면 훨씬 더 단순하게 기술된다. 정수론은 진작에 2진수로 모든 수를 나타냈어야 더 직관적으로 풀렸을 것이다. 그리고 인류가 2진수를 썼다면 0도 더 빨리 발견되었으리라. (10진법이 편한것은 알겠다만 이론적으로는 그렇다는 얘기다)

  (10진법 = 2진법)

  1 = 00001

  2 = 00010 (짝수)

  3 = 00011

  4 = 00100 (짝수)

  5 = 00101

  6 = 00110 (짝수)

  7 = 00111

  8 = 01000 (짝수)

2진법으로 나타냈을때 위에서 언급했던 무리수의 패턴을 보면 자명하다. 0과 1의 개수가 전개 패턴이 서로 다르면서도 균등하게 나온다. 이 관점에서 무리수란 0과 1이 랜덤하게 반복되어 나타나는 것과도 유사한 대칭을 이룰 수 있어 보인다.

이 이야기와는 별도로 랜덤함에 대해서 이해가 필요하다고 믿는데, 칸토어가 무한대의 밀도를 비교했듯이 이 랜덤함에 대하여도 여러가지 등급이나 특성을 부여할 수 있고 이것이 자연을 이해하는데 기여를 할 수 있다고 믿고 있다. 이는 나중에 또 정리해보자.

3) 소수를 사용한 다른 차원의 진법?

모든 자연수는 소수의 연속 곱으로 나타낼 수 있다. 그러면 모든 유리수는 아래와 같이 나타내는게 가능하다.

즉, 분수로 나타낸 수를 아래 위 각기 소수의 거듭제곱 형태로 나타낼 수 있다(아래는 차례로 2,3,5,7까지만 써보자) 

이를 소수진법(위 일반 진법들과 형태는 좀 다르다고 하더라도)이라고 하자. 거듭제곱에 음수를 허용하면 유리수를 나타낼 수 있고, 0이상의 정수만 허용하면 자연수만 나타낼 수 있다. 이미 괴델 등은 각 소수의 거듭제곱 수가 다르면, 서로 겹치지 않은 숫자를 만들어낼 수 있다는 점을 자신의 불완전성 정리 증명에 응용한 적이 있다.

소수진법을 본격적으로 적용해서 2,3,5,7,11,..의 거듭제곱 수를 각각 거꾸로 써서 나타내면 아래와 같겠다. 소수진법에 의한 수라고 해야할까. 물론 각 자리수가 어떤 정수이든 들어갈 수 있다.

이 진법을 직접적으로 쉽게 연산할 수 있는 기계가 존재한다면 소인수 분해 등이 빨라지겠다. 물론 사실은 이는 좀 앞뒤가 바뀌어 있는 논리이긴 하겠다(소수의 패턴이 발견되었다는 의미일테니까). 진법을 따지다보니 이렇게 기존의 로그 스케일이 연관된 것(거듭제곱)이 아닌 완전히 다른 진법을 창조할 수 있겠다 싶어 괴델의 방식에서 착안해 예시로 들어보았다.

이 글들은 이제 https://infomath.tistory.com/ 로 옮겨서 논의해보려고 한다.

왜 정보엔지니어가 소수에 관심이 있을까?

소수는 수에서의 최소 단위 역할을 한다. 즉, 모든 수는 소수의 곱으로 유일하게 나타내어질 수 있다. 바꾸어 말하면 수는 소수에 의해 인코딩되고 디코딩되어 질 수 있다. 이것은 진법과 무관하고 수 자체의 바뀌지 않은 성질이다.

수학자들이 수학을 신봉하는 이유는 다양하지만, 그것이 순수학문으로서 우주를 기술할 수 있다는 사실과 그리고 마음껏 확장해서 사용할 수 있다는 점에서 우주를 능가한다는 사실이다. 명실공히 공학이건 학문이건 논리적인 정량적인 기술을 위해서는 수학은 피할 수가 없는데,

소수는 특히나 이 숫자의 원자같은 역할을 종종하게 된다.

그리고 이 블로그에서 다루는 큰 주제인 양자 컴퓨터의 제1 응용분야로 지적되는 것이 바로 소수분해를 고속화 한다는 점과도 상통된다. 또한 양자암호에서 다루는 암호의 가장 큰 경쟁자가 바로 이 소수분해를 활용한 RSA라는 점도 연결되어 있다.

이쯤에서 책을 한권 소개해보자(아래 링크의 판매자와는 무관하다)

http://www.yes24.com/Product/Goods/2498234

소수의 역사를 이해하기 위해서 일반인에게 가장 잘 설명하는 책 중에 하나라고 생각한다.

오늘은 소개만 시작하고 차근차근 이 책의 내용들을 중심으로 소수에 대해 알아보자