정보엔지니어 (맥스웰의 도깨비, 양자컴퓨터)

 무한은 실제할까? 이 질문에 대해서 아직 답변이 모호하다. 그러면 무한의 실제라는 것은 무엇이 왜 모호할까?

 무한은 수학사에서 보면 0이 탄생했을때부터 사실 같이 태어났다고 볼 수 있다. 즉 0에다가 무엇인가를 곱해서 1을 만들 수 있는 방법이 무한 뿐이기 때문이다. 1을 0으로 나누면 무한이 된다. 여러가지 관점에서 대칭 체계의 수학을, 논리를 전개해가다보면 0은 반대편에는 무한이라는 녀석이 자리잡게 되고, 수학에서 무한은 실제한다.

 그러면 자연은 수학과 일치하는가? 불행히도 이는 아직 합의가 이루어지지 않았다. 상당한 정도로 수학적이라고 알려져있지만, 그 근원은 아직 알 수가 없다. 환원주의로 자연을 분석해내려가고 있지만, 인간의 환원 능력은 여러가지 사정상 한계가 있고 그 한계의 가장 밑바닥에 닿을 수 있는지는 모호하다. 따라서 무한을 직접 확인하기는 어렵다.

 다만 지금 당장 존재하는 것 같은 무한은, 바로 미래의 시간이다. 갑자기 이 시간의 흐름이 멈출리는 없다. 이 시간은 무한히 흘러가리라고 예상된다. 에너지가 보존되고 물리법칙이 이어지는 한 그렇게 되지 않다고 의심할 이유는 아직 없는 상황이다. 오히려 에너지가 사라지고 시간이 멈출 것이라는 예측이 이상하지 않겠는가. 그러면 무한의 시간 속에서 이 우주는 어떻게 흘러갈 것인가? 평균은 알려져있는데 무한의 시간속에 발생하는 우연들에 대해서는 아직 잘 알려져 있지 않고, 이 무한의 계산방법을 통해 무한의 우주를 예측할 수 있지 않을까?

 정리해보면, 수학에서의 무한은 실재하지만, 자연에 무한이 존재하는지 애매한 이유는, 자연과 수학이 동치인지 아직 확인되지 않았고 확인이 어렵기 때문이다. 그러나 동치라고 생각해보면 무한을 이용해 예측할 수 있는 우주의 미래가 존재한다. 이것들이 빅뱅과 연결되면 여러가지 재미있는 예측을 할 수 있지 않을까. 모든 광자들이 우연히 다시 하나의 플랑크 공간에 나타나 다시 빅뱅이 일어나고 수많은 빅뱅과 확대가 반복되는 무한의 우주 말이다.

 골드바흐의 추측은 "2보다 큰 모든 짝수는 2개의 소수(동일 소수 포함)의 합으로 나타낼 수 있다" 라고 간단히 기술된다. 그리고 이는 아직 증명되지 못했다.

 이 문제를 파내려가다보면 결국 소수의 규칙성을 필요로 하게 되기 때문에, 아직 그 규칙성이 모호한 소수를 가지고 증명을 하기가 매우 어려운 경우들을 만나게 되겠다.

 이 문제를 여러가지 변형해보는 것도 가능한데, 모든 2개 소수의 합의 조합이 틈이 없이 모든 짝수를 생성해내면 된다.

"a,b를 각기 임의의 소수(prime number)라고 할때, a+b의 모든 조합을 갖는 집합이, n은 1이상의 자연수일때 2n의 집합을 포함한다"

라고 할 수도 있다.

이 문제에 대해서 여러가지가 선행 증명되었는데, 우선 상기 골드바흐의 추측보다 더 약한 골드바흐의 약한 추측이

"5보다 큰 모든 홀수는 세 소수의 합으로 나타낼 수 있다" 이고, 이는 골드바흐의 추측이 참이면 참이되는 명제다.

이 약한 추측에 대해, 2012년 테렌스 타오가 모든 홀수가 5개 이하의 소수의 합으로 나타낼 수 있다는 점을 증명했으며, 2013년 엘프고트가 10의 30제곱 이상에서는 성립되고, 10의 30제곱 이하에서는 컴퓨터로 모두 확인되면서 골드바흐의 약한 추측은 참임이 증명되었다.

결국은 아직 골드바흐의 추측을 증명하지는 못했지만 그 근처까지는 가있는 모양새이다. 그런데 여기서 흥미로운 것은 주로 소수(prime number)는 곱을 통해 숫자를 분해하는데 그 덧셈이 커버하는 영역을 다루는 것이 이 골드바흐의 추측이라는 점이다. 이런 점에서 더 다루기 까다로울 수 있겠다. 간단히 골드바흐의 추측을 살펴보았다.

자료상으로는 쌍동이 소수 추측(두 소수의 차이가 2인 소수가 무한히 존재한다)과도 관련이 있다고 한다.

https://namu.wiki/w/%EA%B3%A8%EB%93%9C%EB%B0%94%ED%9D%90%20%EC%B6%94%EC%B8%A1

1. 왜 수학은 인간에게 직관적이지 못할까?

 수학공부를 하면서 방정식을 보면 무슨 의미인지 금방 떠오르는 상태(수학적인 감각이 충만한)를 동경한 적이 있다. 그러나 지금에 와서 보면 그것은 그저 작은 영역에서나 가능한게 아닌가 싶다. 인간은 수학이라는 논리 체계를 자연스럽게 받아들이기 어렵다.

 -1과 -1을 곱하면 양수 +1이 되는 부분은 해당 연산 체계가 무모순적이 되기 위한 필수인데, 인간은 직관적으로는 이것을 받아들이기 어렵다. 외우거나 혹은 이렇게 해야만 모순이 없다는 사실을 그저 받아들여야 한다. 그러나 음수와 양수를 대칭상에서, 한 직선상의 양측 관계로, 마음으로 이해한다면, -1과 -1을 곱하는 것이 음의 반대방향으로 가는 것이라는 직관에 다가가게 된다. 당연하게 보자마자 양수가 떠오르게 될 수도 있겠다. 뜨거운 것을 만지면 그러기 싫어도 앗뜨거워 하면서 소리를 지르는 것처럼 말이다.

 그러나 인간의 직관이란 상당히 편협한 시간과 공간, 경험에 의존하게 된다. 우리의 머리속은 떨어지는 공을 자연스럽게 받아들일 수 있지만, 미시세계의 일은 도저히 이해할 수가 없다. 만약에 우리가 미시세계에서 지속 살아왔더라면, 반대로 떨어지는 공을 자연스럽게 받는 것같은 일을 도저히 이해할 수 없었을 것이다. 그런 세상은 거시세계라는 뉴튼 역학의 방정식으로나 존재하는 세상인 것이다. 대체 이해할 수가 없는.

 그래서 미시적인 세계는 양자역학 파동방정식에 의해서 아름답게 기술되고 정확히 예측할 수 있지만, 인간은 아무리 들여다봐도 그 방정식이 나타나는 세계를 머리속에 아주 명료하게 떠오르기란 쉽지 않은 것이다.

 그렇다. 애초에 수학이 바라보는 세상과 사람이 바라보는 세상은 근본적으로 다르다. 전자가 훨씬더 객관적이고 정밀하다. 후자는 살아남기에 급급한 생물이 갖추어야할 수많은 본성에 사로잡혀 있으므로(!) 이 아름답고 우하한 수학 방정식들을 직관적으로 이해하기가 쉽지 않겠다. 그리고 불행히도 자연은 이 수학을 쏙 빼닮았다. 그래서 사실은 마치 인간이 아주 편안하게 자연을 이해한다고 생각하겠지만, 실제 자연의 모든것을 이해하기 어려운 것이다. 직관적이지 않은 수많은 것들이 자연 어딘가 극단의 세계에 가득하다. 기나긴 수렵채집 기간을 지나오는 동안 생존에 목마른 인간이 전혀 관심갖을 만한 모습이 아니라면, 이런 극단들을 이해할 수 있는 틀 같은 것은 갖출 수 있었을 리 만무하다. 의식주 해결하기 바쁜데 보이지도 않는 블랙홀이나 분자수준의 일이 대체 무슨 상관이었겠는가.

 그래서 수학을 직관적으로 이해하지 못하는 것은 우리 거의 모든 인류가 마찬가지라고 볼 수가 있겠다. 오히려 훈련을 통해 상상력을 통해 그것을 극복해낸 선대 과학자들이 존경스러울 따름이다. 캄캄한 방에서 보지도 듣지도 못하는 것을 온갖 실험과 가설을 통해 시행착오 끝에 알아낸 것 아니겠는가. 그 과정이 얼마나 쉽지 않았겠는가. 리처드 파인만 교수가 이야기한대로 "자연은 우리보다 훨씬 더 큰 상상력을 지녔다."

2. 무한에 대해 이해하기

 무한은 자연에서는 관측하기 어렵지만, 수 체계에서는 어렵지 않게 만날 수 있다. 사칙연산 중에 0으로 나눔으로써 순식간에 무한을 창조해낼 수 있다. 혹은 간단하게 모든 자연수의 집합을 가정함으로써 무한개의 원소를 가진 존재를 만들어 낼 수 있다. 자연에서는 도통 확인할 수 없는 전체로의 무한이, 수학에서는 이렇게 종종 나타난다.

 인류가 이 무한을 이해할 수 있는 체계를 갖추었다는 것은 더이상 그 앞에서 더 진도를 못나간거나 함정에 빠지지 않아도 된다는 것을 의미한다. 모든 자연수의 집합을 가지고 무언가를 하려면 전에는 쉽지 않았다. 그것이 무엇을 의미하는지 명확히 설명하기가 어려웠기 때문이다. 무한을 그저 증가하는 상태라고만 여겼지, 전체적으로 이해하지 못했기 때문에 그것을 하나의 값으로 다룰 수가 없었다. 그래서 수없이 많은 벽에 마주했었다.

 간단하게는 만약에 우주가 가진 시간이 무한히 끝나지 않는다고 가정해보자(개인적으로는 그러지 않을 아무런 증거도 현대과학이 찾지 못했다고 생각한다) 만약에 우리가 무한을 제대로 이해하지 못하고 있다면 우리는 이 상황을 수학적으로 기술하기 어려웠을테고 이것을 통째로 다루지도 못했을 것이다. 그러나 지금은 그렇지 않다. 이 무한의 시간에서 예측하고 싶은 것이 있다면? 당연히 예측할 수 있다. 가장 간단하고 흥미로운 것이 엔트로피의 법칙이다. 밀폐되고 고정된 공간안에서는 뜨거운 물과 차가운 물이 만났다고 치자. 곧 모든 분자들이 무질서도가 극대화된 상태로 달려가서 그 중간온도 어디에서 평형을 이룬다. 그런데 만약 무한의 시간이 주어진다면 어떻게 될까? 정답은 처음대로 돌아가는 상황이 생긴다. 그것도 무한번 생긴다.

 물론 자연의 우주는 가속팽창하고 있다고 인정받기 때문에 이 상황을 우주에 적용할 수는 없지만, 우리는 무한의 무엇인가를 이제 제법 특정 값으로 상정하여 예측해볼 수 있다.

 인간이 수학적인 체계내에서 직관을 넘어서 무언가를 이해하고 그리고 그것을 써먹을 수 있는 재미있는 것 중의 하나가 이렇게 무한이라고 생각한다.

 책 "허수(Imagaing numbers)"를 쓴 배리 마주르(Barry Mazur)가 지적했듯이, 음수와 음수를 곱하면 양수가 나오는 것은 의외로 어린 학생들에게 설명하기가 어렵다. 그것은 6개가 든 사과 봉지가 2개가 있을때 전체가 12개가 된다는 6*2=12가 굉장히 자명한 것과는 차이를 보인다. -6을 두번 곱하면 -12가 되는 것도 그렇다 치자. 그런데 왜 -1과 -1을 곱하면 1이 되는가?

 정답은 수학 연산체계가 즉 교환법칙이나 결합법칙 등 여러가지 면에서 모순적이지 않기 위해서는 그것이 양수가 되어야 한다는 점이다. 

 (-1) * 0 = 0

 (-1) * (-1 + 1) = 0

 (-1)*(-1) + (-1 * 1 ) = 0

 (-1)*(-1) + (-1) = 0

(-1)*(-1) = 1

 그런데, 이 설명은 좀 납득하기 어려운 점이 있다. 앞서 6개가 든 사과 봉지가 2개가 있으면 12개가 되듯이, 눈으로 보이는 직관적인 설명을 하기가 어렵기 때문이다.

 이런 문제는 수학에서 드물지 않다. 논리적으로는 그러하다는 것을 따라가보면 맞는데, 직관적으로 마음에 와닿지 않는다. 그래서 이 음수에 대한 질문이 가치있는 이유는 이러한 아주 단순해보이며 수학적으로 자명한 진실이 왜 설명하기 어려운지를 우리가 생각해보아야 한다는 점이다. 예를 들면 허수라는 것은 존재하지도 않는데 대체 무엇이고 sqrt(2)="루트2"는 왜 피타고라스 학파가 존재하지 않는 수라며 비밀로 했을까?

 이 "설명 난해함"에는 중요한 함의가 숨어있는데, 바로 수학적 체계와 인간 인지의 차이에 대한 내용이다. 그 간격을 이해하면 이 난해함이 자명해지는 것을 알 수 있다.

 인간의 인지는 기본적으로 태양계의 지구라는 곳에서 생존하기 위해 진화한 지능에 근거한다. 자연계의 생존 경쟁을 위해서 머리를 써서 예측해야했고, 가끔은 중력의 포물선이 머리속에 들어있는 것이 아닌가 할 정도로 우아하게 멀리서 날아오는 공을 잡아낸다.

 반면에 수학은 대칭과 보존, 변화 등이 얽혀 있는 논리 체계이다. 그것은 일반화, 무모순 여러가지 것들을 필요로 하며 -1 과 -1 이 곱하면 당연히 1이 되는 체계이다.

 그래서 인간의 인지 체계와 수학의 대칭체계는 일부 부조화한다. 이를테면 양수 곱은 이해할 수 있지만 음수 곱은 어렵다. 만약에 인간이 수학의 논리체계가 모두 극명히 드러나는 환경에서 진화했다면 수학 전체가 이렇게 어렵지 않을 것이다. 그것은 마치 인간이 미시세계에서 살아왔더라면, 그 알 수 없는 양자역학을 던지는 공의 움직임을 쉽게 이해할 수 있는 것처럼 깨달을 수 있을 것이라는 기대와 비슷하다. 그러나 인간은 거시세계의 동물이며 거기서 진화한 생명체이다. 이 세상이 수학적이라고 필자는 믿지만, 인간이 처한 환경은 그러한 수학의 일부분만을 경험할 뿐이다. 그것은 전체 수학의 모습과는 괴리가 있다. 그리고 이러한 괴리는 서로가 자명한 상황에서도 "설명 난해함"을 만들어 낸다.

 오히려 이런 관점에서는 인간이 수학을 만들어 내고, 완성해온 과정이 놀랍다. 인간이 가진 인지와 수학 체계의 어긋남을 이겨내기 위해, 여러가지를 상상하고 논리적으로 다시 시도해봄으로써 인간은 한단계 한단계 이 거대한 수학체계를 발전시켰다. 자신이 이해할 수 없는 것도 가정하며 앞뒤의 퍼즐을 맞추자, 듣도 보도 못한 '허수'가 탄생했으며, 그것이 원래 이 수학 체계안에 존재하는 것이라는 것을 깨닫는 것도 그러한 역사의 일환이다. 그렇게 자신의 인지 경험과 어울리지 않는 이 수학의 논리 체계를 어렵게 어렵게 확장해 받아들이고 있다고 볼 수 있다.

 여기서 재미있게도, 수학자라는 직업을 가진 이는 일반인 대비 수학 체계에 대해서 더 잘 이해하고 받아들인다. 방정식을 보면 마치 눈에 빤히 보이는 물고기의 움직임처럼, 일반인이 전혀 알아내지 못하는 것을 바로 집어낸다. 그래서 이 아름다운 대칭 체계를 머리 속에 일반 사람보다 더 잘 그리면서 이해하고 그것을 직업으로 선택한 사람들을 우리는 수학자라고 부른다. 그러나 그럼에도 불구하고 인간이 가진 깊은 인지 체계와 논리 체계의 수학 사이에는 어쩔 수 없는 괴리가 존재한다. 그것이 더 빠르게 이 분야가 발전되지 못한 이유이며, 상상 외에는 탈출구가 없었던 이유다.

 이런 관점에서 수학의 궁극적으로 완성된 체계는 무엇일까? 만약에 우리가 수학에 완전히 익숙해진 지능을 갖고 태어났다면, 음수와 음수를 곱하면 양수가 된다는 사실이 마치 숨을 쉬는 것처럼 자연스럽게 느껴지는 지능을 부여받았다면 우리는 어디까지 완성해낼 수 있을까? 그 지향점은 어떻게 될까? 지금까지 다양한 상상으로 한걸음 한걸음 진화시켜왔고, 완전히 새로운 수학 분야를 열어가며 앞으로 나간 천재들이 그리는 방향은 무엇일까?

 정답을 알아서 질문하는 것은 아니다. 여기에 대답하기 위해서는 수학의 모든 일반적인 것들이 숨쉬는 것처럼 자연스러운 지능을 만나야 할텐데, 계속 우리는 훈련에 의해서 그러한 이들을 만나게 되고 있는 것인지 모르겠다. 대칭과 보존의 체계 속에서 그것들을 일반화하고 더 쉽게 개념화하는, 더 많은 것을 더 단순하게 설명하는 이들이 그들이며 그 방향이다. 인간의 인지 체계를 조금더 수학적인 것에 적응하려고 노력하고, 지속적으로 위 방향을 추구하는 이들이 더 큰 답을 찾아나가지 않을까? 인간의 인지와 수학 체계의 괴리가 무엇인지 더 잘 이해하고, 수학 체계가 지는 방향에 맞추어 더 끊임없이 일반화해나가는 노력만이 이 분야를 확장할 수 있지 않을까. 어찌보면 당연한 이야기지만 한번쯤은 곱씹어볼 일이다.

 숫자를 깊이 고민하는 자는 신의 고민을 만나게 되지 않는가.

 소수의 규칙에 대한 의의 중에, 소수에 규칙이 있다면 수 체계를 좀더 압축해서 표현할 수 있다고 언급한 적이 있다. 모든 수를 각 소수의 곱으로 나타내면, 특정 수를 나타내기 위한 정보의 수가 줄어든다. 그런데 이 과정에서 소수의 규칙이 없다면 "소수의 테이블"이 필요하다. 결국 원래의 1,2,3,4 숫자체계에 얽히게 되며 독립되지 않는다. 컴퓨터 상에 구현한다고 생각하면, 소수의 배열을 따로 가지고 있어야 되며, 그 배열의 길이는 무한해야 한다.

 그런데 소수의 법칙이 발견되면 즉 몇번째 소수를 바로 알 수 있다면 저 무한의 테이블이 필요없게 된다. 아무리 큰 숫자를 표현하기 위해서도 무한의 메모리가 필요없다. 나는 이 상황을, 특정 대칭 체계가 더 작은 대칭 체계로 전환된 것이라고 생각할 수 있지 않나 싶다.

 1,2,3,4 등의 기본 숫자 체계가 더 압축되게 된다. 그런데 재미있는 것은 이렇게 한번 압축한 후에는 계속 압축이 가능하다. 몇단계의 압축을 거쳤지만 기록하면 얼마든지 더 압축할 수 있다. 따라서 수 체계에서의 소수의 규칙성이란 대칭 체계를 무한히 더 작은 대칭 체계로 교체할 수 있는지와 관련이 있어 보인다.

 대칭과 대칭의 변환 문제가 이 소수의 규칙 문제에 숨어 있지 않은가. 그런 생각이 들었다.

 초기 과학자들이 엔트로피를 논하게 되면서 이해가 잘 안되었던 것은 이 무질서의 세상에 왜 생명이 존재하는가 하는 문제다. 세상은 점점 무질서해지고 헝클어져야 하는데, 생명은 늘 항상성을 보존하고 그것을 전파한다. 그리고 이 문제에 대해서는 에너지가 외부에서 공급되는 계에서는 엔트로피가 감소할 수 있다는 일리야 프리고진의 연구가 존재한다.

 이 관련해서 좀더 살펴보면, 엔트로피의 세상 안에서도 특정하게 엔트로피를 감소시키는 듯한 국소적인 현상이 일어난다. 그것은 random의 특성인데, 작은 확률이지만 엔트로피 감소를 유도하는 기적이 발생한다는 점이다.

 하나의 큰 박스안에 에너지를 집어넣고 그 움직임을 관찰한다고 치자. 그것들은 서로 충돌하여 다양한 모습을 나타낼 수 있다. 예를들면 사과를 박스안에 넣고 열을 더해주면 그 사과 분자들이 분해되어 충돌하며 날뛰게 될것이다. 그러면 다시 그 분자들이 날뛰어 충돌하다가 다시 사과로 돌아올 확률이 얼마나 될까? 정답은 말도 안되게 낮다는 사실이다.

 그런데 흥미롭게도 무한의 시간을 관찰하면 어떻게 될까? 정답은 사과가 된다이다. 시간이 증가될수록 사과가 되지 않은 확률이 반복될일이 줄어들게 되며 무한의 시간이 되면 그 확률은 0이 된다. 결국 사과가 다시 나타난다. 무한의 힘이다. 놀랍지 않은가? 엔트로피의 법칙은 어디에 갔나 싶겠다.

 또한 가장 유명한 지적은 pi의 소수점 아래 전개가 random처럼 보이며, 그것을 어느정도 구분해 알파벳으로 변환하면(두자리씩 끝어서 01은 A, 02는 B식으로 하면 된다) 언젠가 pi의 소수점 아래 전개에는 셰익스피어의 작품이 등장한다는 것이다. 왜냐하면 무한의 random에서는 모든 일이 발생하기 때문이다. 모든 일이 발생하지 않는 것도 자연의 대칭에 위배된다. random함이 보장되고 무한의 반복이 진행되면 결국에는 모든 일이 발생한다. "이것이 자연에서의 엔트로피의 아이러니다. 무질서해지지만, 그 안에는 우연히 질서가 태어난다."

 상기와 유사한 현상을 가지고 인공 생명에서는, 진화상의 생명의 당위성을 주장한다. 우주가 무한의 시간에서 벌어지고 있다면, 어디엔가 에너지를 흡수해 자기를 복제하고 항상성을 유지하는 생명은 탄생한다. 무한의 random, 엔트로피에서도 도래하지 않는 질서란 없기 때문이다. 엔트로피 증가가 다분히 모든 것을 헝클어지게 만든다는 것과 대치되는 시각이자 반 엔트로피가 되는 현상이다.

 책 "허수, 베리 마주르 지음" 에서 발견한 이 질문에 대해 조금 고민해보면, 생각보다 의심의 여지없는 답을 하는 것이 꽤 어렵다는 것을 알 수 있다. 왜냐하면 이 질문은 곱하기 음수가 무엇인지, 사람이 잘 알기 어려운 개념을 묻기 때문이다.

 이 질문에 답을 하기 위해서는 수가 무엇인지 그것도 음수가 무엇인지 그리고 곱하기가 무엇인지에 대한 정확한 이해가 필요한데 대부분 그렇지 못하고, 이 질문을 처음 만났을때의 필자도 마찬가지였다.

 수에 대한 정의에 있어서 필자는 다른 글에서 대칭체계의 부산물로서 설명한 적이 있고, 이 작업은 흥미롭게도 더 깊이 추상적으로 내려가볼 수 있다. 그러나 깨달은 것은 더 추상화하지 않더라도 직선상에 0이라는 점을 찍고 그 양쪽으로 한쪽은 1,2,3,4라는 양수, 그리고 반대쪽으로는 -1,-2,-3-4로 가는 음수로 정의해도 전체의 틀을 잡는데는 크게 부족하지 않다는 사실이다. 그리고 이러한 체계는 일단은 기본수학교육을 받은 모두가 익숙하다는 장점이 있다.

그러면 다시 처음 질문인 음수와 음수의 곱으로 돌아가보자.

음수란 양수의 대칭점에 있는 수이다. 방향이 다른 쪽으로 뻗어가며 곱하기란 "몇번을 반복해서 그쪽으로 이동하는 것인가"에 대한 연산이다. 특히 양수에 있어서는 이 정의들은 형태만 다르지 이견이 없게 잘 이해할 수 있다.

즉, A와 B를 양수라고 했을때, A * B 라는 것은 원점에서 A만큼의 이동을 B번 반복한다. 직관적으로 머리속에 잘 그려진다.

그러면 다음으로 -A * B는 무엇일까? 이것도 어렵지 않게 A의 대칭에 있는 -A로의 이동을 역시 B번 만큼 반복한다는 것으로 이해할 수 있다.

그런데 과연 A*-B, 즉 A를 -B라는 음수만큼 반복한다는 것은 어떤 의미일까? 결론적으로는 신기하게도 그 의미가 명확해서 음수곱하기 음수가 양수가 되는 것이 아니다. 사실은 대칭의 연산체계에서 유일하게 서로 모순이 없도록 정의할 수 있는 방법이 바로 음수곱하기 음수가 양수가 되도록 하는 방법이기 때문에 그렇게 된다.

 이를 테면 곱셈의 교환법칙이나 결합법칙 등 우리가 사용하는 법칙을 양수와 음수 모두에서 만족시키는 방법은 아래 몇가지를 살펴봐도

 -1 * A = -A

   1 * -1 * A = -A

-1 * -1 * A = A

-1* (-1*A) = A

-1 * (-A) = A

바로 무언가의 음수 곱은, 앞의 수를 음수의 절대값만큼 반복한다음에 부호를 바꿔주는 방법 뿐이다. 그래야 모순이 없다. 양수에서 만족하는 사칙 연산의 법칙들이 음수에서도 별 특이 변화없이 만족하도록 확장하려 하면, 음수와 음수의 곱은 양수가 되어야 한다.

 싱겁게도 정답이 위와 같다. 사칙연산의 일반적인 양수에서의 패턴을 그대로 유지하려면 그래야 한다.

이 외에도 덧셈의 반대연산인 뺄셈, 곱셈의 반대연산인 나눗셈, 그리고 곱셈의 거듭연산인 지수와 그 반대 연산인 로그 등으로 확장되고 그리고 그 연산들이, 미지수 x를 구하는 대수학에서 분수와 무리수, 허수를 낳게 되듯이 이 대칭체계는 그렇게 무모순을 만들기 위해 계속해서 개념들이 탄생하게 된다. 인간이 상상할 수 없는 방식과 숫자가 계속 탄생하게 되는 것이라고 볼 수 있다. 그렇게 음수를 음수번 반복하면, 다시 양수가 나타나야만 이 숫자 체계가 완전해진다. 허수는 인간의 개념속에 존재하지 않지만 그런 특성을 지녀야만 수 체계가 모순없이 구성된다. 누군가는 아마 이런 음수 곱셈 개념들이 개념이 머리속에 맑게 당연할 수도 있겠다. 그런데 많은 사람들이 그러지 못하고 그냥 그 특성으로 외워야될 수도 있을 수 있는 것이다. 그것이 유일하게 모순되지 않는 방법이라고.

대칭을 이루려면, 더 추상화하는 작업이 필요한데 이것이 쉽지 않다. 이것저것 시도하다보면 아래가 그나마 가장 짧게 묘사하는 것임을 알 수 있다.

"서로 다른데, 합치면 완전히 사라지는 것"

즉 A /= B 인데 A+B = 0 으로 간주해볼 수 있다. 이 둘을 만족하면 대칭 체계를 구성할 수 있다. (조금더 상상해보면 3개, 4개를 가지고도 만들 수 있는데, 그러면 각각 상호간에 대한 관계 구성도 그렇고 조합관계도 복잡해져서 단순성면에서는 그다지 아름답지 않다.그러나 아직 모르는 어떤 효용이 있을 수도 있겠다. 이를테면 삼각형 중앙에서 각 꼭지점으로 뻗어나가는 3개의 직선을 상상해보면 되지 않겠는가. 모두 합치면 0이지만 서로 다르다)

이보다는 더 특수한 케이스로 쉽게 나타낼 수 있는데, 이를 테면 직선에서 이동이다.

한 점을 잡고, 그 점을 0이라 한 후해 그 점과 다른 한점을 잡고 1이라 하고, 0과 그 점사이의 거리만큼 반대편에 있는 곳을 -1이라고 하자.

그러면 1과 -1은 서로 다르면서도,  교체해서 그 중간을 구해도 0은 동일하게 유지된다. 그런데 어찌보면 이정도도 충분하다.

이제 1,2,3,4는 0에서 1의 각점의 이동을 누적을 유지하며 몇번 반복하느냐이고

이제 -1,-2,-3,-4는 0에서 -1의 각점의 이동의 누적을 유지하며 몇번 반복하느냐이고

그리고 연산과 숫자는 엄격히 분할되는 것일까? 그 둘은 무슨 관계를 지닐까?

대칭이라는 자체가 관계 속에서 탄생한다. -1과 1은 0에서 서로 반대쪽으로 이동했음을 가리킨다.

그리고 연산은 이 관계의 여러가지 조합을 다루기 위해서 필요하다. 즉 대칭의 조합이 연산이다. 즉 대칭과 이를 반복적으로 상태를 변경해나가는 것이 연산이다. 다만 그것은 이 대칭의 체계에서 모순이 없도록 구성된다.

대칭에서 1,2,3,4 같은 숫자는 대칭의 반복이 진행됨에 따라 다다른 상태를 곧바로 지칭하는 것이다. 우리는 이를 숫자라고 부르는데, 그 기초는 어떤 값이며 사실은 이것의 길이는 애초에 존재하지 않는다. 다만 1이라고 하는게 인지상정이겠다. 그리고 그것을 반복하면 이제 1,2,3,4형태로 확장된다. -1은 같은 방식으로 -1,-2,-3,-4로 지칭하는 것을 만들어 낼 수 있는데, 이것들은 1,2,3,4와 닮아 있다. 왜냐하면 반대편의 양수와 합쳤을때 0이 되어야 하기 때문이며 거울의 속성을 유지해야 하기 때문이다.

곱셈은 곧바로 이 특정한 이름을 가진 숫자들을 이제 통째로 몇번 반복하는지에 대한 내용이다. 이 몇번도 숫자이며 이는 앞서 정의된 규칙을 따라가게 된다.

뺄셈과 나눗셈은 이 덧셈과 곱셈의 반대 연산으로 태어나게 되며 나눗셈은 자연스럽게 분수를 탄생시킨다. 그리고 0으로 나누면 무한대가 등장하기 시작한다.

곱셈의 거듭인 제곱기호가 탄생하면 그 역연산인 로그가 탄생하고, 음수가 끼어들면 제곱해서도 음수가 되는 허수가 등장한다.

여하튼 다른 관점에서 기술했지만 이 모든 것은 서로 다른데 그 둘이 합해지면 사라지는 관계에서의 조합이다. 이것이 수체계의 근간이라고 생각한다.

https://infomath.tistory.com/5

 다음은 책 수학재즈(에드워드 B. 버거, 승산출판사)에 나오는 카오스 이론의 소개이다. 이 작가는 카오스 이론을 엑셀로 직접 보여주며 알려준다. 사실은 수학에서의 카오스 이론은 단순한 법칙이 지속 반복해서 적용되었을 때의 놀라운 복잡성에 대한 이야기인데, 여기서는 아래 계산을 반복한다는 점을 우선 이야기해보자.

         다음값 = 직전값*직전값 -2

그리고 엑셀에 이 값을 넣어서 흔히 하듯이 표와 식을 만들어 계산해보면 아래와 같은 결과를 얻을 수 있다. 초기값을 0.5로 잡아보자. 첫번째 계산 탭에서는 단계가 커질 수록 그 반복 계산 값이 나오는데, 이때 특이한 것은 두번째 계산이다. 15단계에서 첫번째 계산의 결과값을 오른쪽 컬럼에 옮겨적고 동일한 계산을 이후로 같이 반복해보자.

그런데 놀라운 일이 벌어진다. 49단계 정도까지 가면, 이 최종 계산의 결과가 달라진다. 물론 앞에서도 조금씩 달라지긴 했는데, 마지막에는 전혀 다른 값으로 변한다. 대체 왜일까? 엑셀의 버그인가?

신기하게도 이 유사한 고민을 기상학자 로렌츠도 했었고, 그는 그 연구 결과를 가지고 카오스의 아버지로 불리게 되었다. 

 이렇게 값이 틀어지는 이유를 간단히 먼저 설명하면, 사실 저 15단계의 옮겨적은 값은 컴퓨터 메모리상에서는, 아주 작지만 서로 차이를 가진다. 엑셀은 소수점이하 값을 표기할때 특정 유효숫자 이하는 가리고 보여주는 정책을 가지고 있기 때문이다. 그래서 아마도 저 값은 1.52216347xxx.. 처럼 xxx에 숫자가 더 있을테다. 그런데 화면의 값을 보고 옮겨적인 수치는 정확히 1.52216347값이 들어가겠다. 그리고 이 작은 차이값은, 소위 되먹임 계산을 반복하면서 점점 큰 차이를 내며 49단계 정도에서는 아예 서로간 다른 계산 값을 보여주게 된다. 이것이 바로 날씨를 제대로 예측하기 어려운 현실에 대한 수학적 이해이다. 매우 작은 값의 차이고 얼마간 되먹임을 반복하면 전혀 다른 상황이 되는 것이다.

 즉, 북경의 나비의 날개짓이 결국에는 뉴욕에 태풍을 불러 일으키게도 할 수 있다는 말의 실제 메카니즘이다. 되먹임 계산들은 흔히 저렇게 단순한 계산(이전 값을 두번 곱해서 2를 빼는 정도라도)임에도, 마치 불규칙해보이는 것처럼 작은 초기값 차이에도 결과값이 크게 바뀌게 되기 때문이다.

 그리고 이 소개를 하는 이유는 이 근본에 숨어있는 결국은 무한에 대한 내용이다. 상기 되먹임 계산이 정확히 재현되기 위해서는 소수아래에 무한한 정확도를 지녀야만 함이 자명하다. 계산을 반복할 수록 소수점 아래의 정보들이 더 길게 커지기 때문이다. 위 계산에서도 0.5가 한 단계를 지나 -1.75가 되고, 그 다음은 1.0625가 된다. 몇 단계 가지않아 소수점 아래 자리수들은 엄청난 자리수로 늘어나게 된다. 그리고 이 엄청난 자리수는 역시 조금만 생략 되어도, 몇 단계 후의 결과를 완전히 뒤바꿔버린다. 자연이 계산을 할때 곤란한 경우가 되겠다. 왜냐하면 처리해야하는 계산이 지속 기하급수적으로 늘어나기 때문이다. 게다가 대충 생략해도 결과가 완전히 바뀐다.

 양자역학에서는 이미 플랑크 상수라는 물리량의 최소 단위를 정의하는 값이 존재하기는 하지만, 이 현상들은 재미있는 실험의 가능성을 상징한다. 어떻게든 유효 자리수에 대한 내용을 이런 일정한 되먹임 계산을 통해서도 입증할 수 있지 않을까? 과연 자연은 이 과정을 어떻게 처리할까? 절대온도 0도에서 발생하는 다양한 현상들로 되먹임을 일으키는 현상을 만들고 한참동안 지켜보면 어떨까 하는 상상이다.

 수학적인 계산에 의해 자연이 작동한다고 믿게 되면 이런 여러가지 재미있는 질문을 던질 수 있게 되는 것같다. 카오스에 대한 재미있는 설명(엑셀을 도입한!)이라 옮겨 실어본다. 

수학자들 사이에서 유명한 오일러 공식(Euler's formula)은 아래와 같다.

그리고 여기 x에 파이(pi)를 할당해 계산하면 아래와 같은 항등식으로 바뀌게 되고, 많은 수학자들이 놀라워했듯이 수학에서 가장 유명한 두 상수가 이렇게 만나 간결하게 정리된다. 

이에 대한 세부 내용은 아래 위키에서 확인할 수 있다. https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%98%A4%EC%9D%BC%EB%9F%AC_%EA%B3%B5%EC%8B%9D

다만, 여기서 같이 살펴볼 것은 이 두 무리수 파이와 자연상수 e에 대한 내용이다. 과연 이것이 무엇일까?

첫번째로 파이(pi)는 잘 알려져 있다시피 반지름과 원의 둘레 사이의 비율을 정의하는 상수이다. 즉, 간단히 설명해보면 직선에서 곡선으로 변환되는 비례관계를 표현한다. 더 쉽게는, 파이는 늘 곡선과 연관되어 있다고 말할 수 있다. 따라서 대부분의 곡선을 다루는 방정식들은 이 파이를 만나게 된다. 당신에게 곡선을 나타낼 도구가 필요한가? 그러면 곧바로 파이와 맞닿게 되어 있다.

 sin과 cos을 다룰때도 파이가 등장하는 이유는 그 두 그래프를 보면 명확하다. 그 그래프 값들은 곡선이며 그렇게 파이와 직결된다. 삼각형의 비율로 묘사되는 이 삼각함수들은, 사실은 원 궤도를 움직이는 2차원 평면상의 좌표로도 나타낼 수 있기도 하고 삼각함수는 파이와 절친한 친구이다.

그래서 파이는 이렇게 곡선을 묘사한다고 이야기해도 틀린 말이 아니다.

그러면 두번째로 자연 상수e(=2.718..)란 어떤 존재인가? 여러가지 정의로 나타낼 수 있지만, 가장 이해하기 쉬운 정의는 다음과 같다.

f(x)=e^x (e의 x제곱) 라는 지수 함수가 있을때, 이 함수를 미분해도 다시 그 자신이 되는 e값이다.

즉, d(e^x)/dx = e^x가 되는 e값이다.

조금더 풀어서 이야기하면 x에서의 함수값 f(x)와 그 접선의 기울기 값 f'(x)가 같다. 즉 해당 점에서의 변화율이 그 함수의 값과 같다. 함수값이 커질때 변화율이 그 함수값보다 작아지는가 커지는가로 나누는 경계가 된다. 자연상수 e값으로 지수함수를 구성할때는 이 값이 같다.

그러면 왜 이 값이 의미가 있을까? 이자율이나 여러가지 지수관계를 다룰때, 이 값은 마치 대칭의 중앙값 같은 역할을 하게 되기 때문에 계산이 쉬워지게 만드는 역할을 할 수 있다. 10을 밑으로 하는 log는 그저 편의상 만들어진 10개인 인간의 손가락 수에 의존하는 숫자이지만, ln은 이러한 수학의 변화율에 대한 법칙이 만들어낸 어떤 특정한 값이다. 따라서 지수함수와 대칭점에 있는 로그함수를 다룰 때 아예 자연상수 e를 사용한 로그 ln을 상정함으로 인해 계산 결과를 더욱 깔끔하게 정리할 수 있다. 새로운 비율의 숫자로 수학을 구성했을때 더 간결하게 나타낼 수 있는 셈이다.

 다시 풀어쓰면, 지수함수에 대해서, e보다 작은 값에 대해서는 이제 변화율이 그 함수값보다 작고, e보다 큰 값에 대해서는 그 변화율이 그 함수값보다 커지게 되면서, 이 두 세계를 나누는 경계가 된다. 윗 세상과 아랫 세상을 나누는 무언가가 된다. 즉 지수 관계에서 특정한 대칭을 이루는 한 지점으로 된다.

사실은 그래서 개인적으로 자연상수 e가 곡선을 다루는 파이보다 더 의미있어 보인다. 자연상수 e는 무리수에서나 찾을 수 밖에 없는, 늘어나고 줄어드는 사이의 가운데 중간값이기 때문이다. 마치 정수에서 음수와 양수를 0으로 나누듯이, 지수함수의 변화를 그 미분값보다 더 크게하고 작고하고의 대칭 중간점을 자연상수 e가 정의하고 있기 때문이다.

 그리고 참고로 허수에 대해서는 따로 설명하지 않겠지만, 신기하게도 복소 평면에서의 허수 i는 회전으로 묘사될 수 있다.

 그리고 이에 더해 앞서 밝힌 관계들은 이렇게 다시 돌아가보면, 복소 평면에서 아래와 같은 관계를 지니게 되는 것이다.

그리고 이 x가 pi만큼 회전했을때는, 위 공식의 양변이 모두 -1이라는 값으로 가게되며, 결국 아래 값을 만족하게 된다.

 이 두 상관없어 보이는 지수함수의 증가의 기준과 곡선을 다루는 두 무리수 상수가 이렇게 딱 떨어지며 관계를 이루고 있는 셈이다. 그리고 정리해보자면 e는 변화율에 대한 대칭의 지점이며 pi는 이 회전에서의 어딘가 곡선값을 처리한다고 간략히 묘사해볼 수 있겠다.