정보엔지니어 (맥스웰의 도깨비, 양자컴퓨터)

무한의 무언가가 세상에 존재할까? 라고 물으면 ,그 중의 한 후보가 바로 시간이다.

시간은 지금과 그 다음이 있을 것이라고 믿어 의심치않게 경험할 수 있기 때문이다. 에너지는 보존되며 무언가가 바로 이 다음에 일어난다. 어느 시간이든 늘 1초 다음이 존재한다. 그러한 시간의 축 속에서 우리는 지금 이 특정 시기에 존재하고 있다.

그런데 무한의 시간대를 가정하면 이 시간의 대부분은 엔트로피가 지극히 높아진 상태, 그러니까 잡음만 가득하고 에너지는 평형을 이룬, 변화가 의미가 없는 상태가 대부분일테다. 책 "시간의 끝"에서는 우주가 계속 팽창하고, 별은 모두 타 버린 엔트로피가 극대화된 세상을 이야기한다. 차가운물과 뜨거운물이 뒤섞여서 더이상 무언가 능동적으로 변화하지 않는다. 이 시기가 바로 우주의 대부분이며 사실은 무한의 범위를 놓고 보면 100%에 해당한다. 엔트로피가 낮은 상태는 그 초반의 얼마간 뿐이 아니겠는가? 그런데 왜 우리는 이렇게 완전히 에너지가 평형을 이뤄버린 세상에 있지 않는가? 그것은 과연 우연인가.

 여기에 대해 2가지 고찰을 해볼 수 있다. 첫번째로 우리같은 이런 생각을 할 수 있는 생명이라는 존재가 엔트로피가 어느정도 낮으면서 외부에서 에너지를 제대로 공급받을 수 있는 시기에만 존재할 수 있다는 사실이다. 불평을 할 수 있는 존재가 가능한 시기가 몇 안되는 시기다. 우주가 의식을 갖을 수 있는 기회는 어느정도 시간이 흐른 초기 뿐이고, 나머지 암흑의 시기(?)가 무한의 범위를 압도해 버릴텐데, 그 시기에는 아무도 불평하지 못하는 것이다.

 두번쨰는 엔트로피의 통계적인 특성에 따라 커질 뿐이지, 우연을 통해 새로운 질서의 작은 파도가 생길 수 있다는 점이다. 무한의 시간 속에서 우연은 또다른 작은 낮은 엔트로피의 세상을 만들어 낸다. 그것은 무한히 작아지겠지만, 무한의 모수에서 작아지는 것은 별 의미가 없지 않을까. 따라서 생명이 존재하는 시기의 우주는 역시 무한히 반복되지 않을까. 그런데 이 두번째 논의는 조금더 곱씹어봐야할 주제이긴 하다. 엔트로피의 대상은 양자역학 수준의 미시 세계이고 이미 그 끝이 플랑크 상수로 정해진 대상이다. 따라서 어떤 우연의 쏠림이 새로운 우주를 만들어낼 정도가 되려면, 현재 우리가 있는 이 안보다는 더 상위수준의 세계가 존재해야만 한다. 그러한 계층적 세계가 존재할지 좀더 고민이 필요하다.

 이렇게 무한의 시간속에서 우리가 특별한 이유를 찾아볼 수 있겠다. 이 논리 외에는 공평하게 우리의 존재를 논하기 쉽지 않지 않은가

이 글은 책 추천이다. 바로 "무한의 신비"라는 책이다.

https://www.aladin.co.kr/shop/wproduct.aspx?ItemId=360755 

무한에 대해 관심을 갖는 일반인에게 그 역사 전체 중 중요한 사실을 역사와 같이 설명해주는 좋은 책이라고 생각한다.

그리고 그 핵심에는 수학자 칸토어가 있다.

원래 칸토어 이전에도 무한은 적당히 다뤄져왔다. 제논의 역설 같은 문제들이 거론되기도 하지만, 계산을 위한 무한은 적당히 근사하면 그만이었다. pi값은 적절히 다각형으로 근사해서 구하면 되는 식이었다. 그런데 사실은 이론적으로는 무한은 그렇게 다루어져서는 절대 이해할 수가 없다.

예를 들면 전에 지적했듯이 무한히 많은, 길이가 0인 점이 선분을 이루는 일은 적당히 근사해서는 이해될 수가 없다. 무한에 한개를 더해도 똑같은 무한이 생기고, 0.999999.. = 1이라는 사실을 인지하기 위해서는 좀더 근본적인 체계와 방법이 필요하다. 그리고 이 엉뚱한 모험을 제대로 한 사람이 바로 칸토어가 되겠다.

칸토어는 집합론의 아버지로도 불리는데 무한을 이해하기 위해서 집합을 도구로 쓰고 발전시켰기 때문이다. 책에는 그래서 무한을 가르치지 않는 학생들이 배우는 집합론이 의미가 없다고 까지 이야기한다.

1:1 대응을 통해서 무한의 크기 혹은 농도(cardinality)를 비교한 일, 실수와 자연수의 무한이 다르다는 것.선의 모든 점이 면의 모든 점에 대응시킬 수 있다는 것. 그래서 무한을 더하거나 무한을 곱해도 같은 무한이 된다는 점 등, 무한을 우리가 아는 유한의 수준으로 당겨서 이해하는, 새로운 장을 연 것이 칸토어이다.

갈릴레오 갈릴레이를 거쳐, 볼차노, 그리고 칸토어, 연속체 가설, 괴델까지 무한에 대한 수학사의 대표적인 사건들과 발견들이 그나마 일반인이 듣고 지나갈 수 있도록 구성되어 있다. 무한이라는 주제에 관심을 갖는 모든 사람들에게 추천한다. 대체 당신이 무엇을 궁금해하고 있는 것인지를 이 수학자들의 이야기속에서 깨닫게 해준다.

 무리수에 대한 역사는 책 "무리수, 헤아릴 수 없는 수에 관한 이야기"(줄리언 해빌)에 자세한 소개가 나오긴 하는데, 여러가지 어려운 증명이 포함되어 비전공자가 접근하기 까다롭다.

 쉽게 생각할 수도 있지만 책을 따라가다보면 의외로 이 무리수를 정의하는게 힘들어서, 대략 실수에서 유리수(a/b 형태의 분수)를 뺀 나머지 정도로 우리는 기억하기도 하는데, 이건 그럼 실수라는 것은 또 무엇인가 싶게 된다.

 이때 조금 살펴봐야 하는 내용이, 위 책에서의 따로 내린 정의이며 익히 알고있는 정의, 바로 무리수라는 것이 순환하지 않는 무한소수라는 점이다. 여기서 왜 무리수가 수 체계에서 필연적으로 등장하는지 잠깐 엿볼 수 있다.

순환하는 소수를 다음과 같이 정의해보자. 0~9사이의 숫자 a1~an이 있다고 하면 순환하는 소수는

    0.a1a2a3a4..ana1...an...(반복)   예시> 0.141591415914159...(a1=1, a2=4, a3=1, a4=5, a5=9, n=5이다)

형태로 나타낼 수 있다. 그러면 위 책의 계산대로 간단한 수열의 합 공식에 의해서

(자세히 보면 이 반복은 등비수열의 합이다)

   0.a1a2a3a4..an(반복) = a1a2a3a4/(10^n -1)이 된다. 즉 위 예시에서 0.14159...=14159/(10^5-1)이 되는 것이다.

 결국 가만히 살펴보면 순환하기만 하면 등비수열의 합을 통해 분수로 나타낼 수 있다는 점을 알 수 있다. 그런데 이제 순환하지 않는 무한 소수를 생각해보자. 가장 유명한 수 중의 하나는 제타함수에서 x=3인 경우로 유명한 이 수열이다.

1/1 + 1/8 + 1/27 + ... 1/x^3

 이 숫자는 더해 나갈수록 앞 숫자보다 뒤 숫자가 더 작아서 어딘가로 수렴하는데, 등비수열로는 나타낼 수 없어서 유리수인지 아닌지 모르는 값이고, 결국 로저 아페리에 의해 무리수임이 증명되었다.

 기하학에서도 금방 찾아낼 수 있다. 피타고라스 학파가 찾아냈듯이 밑변과 높이가 1인 삼각형의 빗변의 길이를 나타내는 소수값은 어딘가로 향하긴 하는데 도무지 순환하는 패턴이 없다(sqrt(2)). 그 유명한 증명법대로 sqrt(2)는 a/b의 분수 형태로 나타낼 수 없다. 결국 유리수(분수)로는 이렇게 순환하지 않는 소수를 나타낼 수가 없는 것이다. 그런데 의심할 수 없게도, 피타고라스 학파를 당혹스럽게 만든 그대로, 좌표상에서는 정확히 어딘가 존재하긴 한다.

 어찌보면 자연수에서 시작한 숫자가, 사칙연산에서는 곱셈 나눗셈을 다루다보면 그 연산 대칭에 의해서 유리수가 탄생하게 된다. 즉 2를 3곱하면 6이 나오는데, 2를 3으로 나누면 무엇인가? 라면 당연히 2/3이 나오게 된다.

 그리고 무리수는 제곱과 로그에 의해서 탄생한다. 4는 2를 두번 곱하면 되는데, 무슨 수를 2번 곱해야 2가 되는가? 라고 물으면 금방 sqrt(2)가 필요하게 되고, 또한 어떤 수의 a/b 제곱을 다루다보면 금방 찾아지는 것이 무리수가 된다.  

 이렇게 사실은 무리수의 탄생은 수학에서 무한이라는 것을 다루거나 제곱연산을 다루다보면 필연적이었을 일이었다. 제곱연산과 음수를 다루다보면 허수를 만나게 되는 것과 비슷하겠다. 제한된 수 범위하에서, 이를테면 0과 1사이에서 다양한 유형의 무한을 다루다보면 만나게 되는 값이다. 무리수는 이렇게 사칙연산에서의 대칭과, 무한을 처리하는 과정 중에 만나게 되는 수가 된다.

이 글은 아래 기록에 따른다. 이미지를 발췌하였다.

 https://pointatinfinityblog.wordpress.com/2016/04/07/aristotles-wheel-galileo-and-the-jesuits/ 

여러 방송매체에서 다뤄왔듯이 원통을 굴리는 실험을 해보면 생각보다 신기한 일이 펼쳐진다.

재미있는 것은 분명히 서로 다른 지름을 가진 두원이 지나왔는데, 빨간색의 두 직선처럼 길이가 같아진다. 그리고 더 흥미로운 사실은 많은 이들이 지적하듯이 저기에 빨간 줄은 없지만, 이 원통의 중심이 이동하는 궤적이다. 이 원통의 중심은 원도 아니고 점이다. 엄밀히 말하면 지름이 0인 원이라서 둘레의 길이가 없는데, 결과적으로 직선이 만들어진다.

이것은 마치 점으로 선분을 만드는 것과 같다. 이와 비슷한 일이 바로 제논의 역설과 같다. 거북을 따라잡는 아킬레스는 늘 거북이와의 절반의 점을 지나야 하는데, 절반을 가도 또 절반이 남고, 또 절반이 남기 때문에 무한이 많은 점을 거쳐야 한다는 점이다. 그래서 결국 거북이 보다 훨씬 빠른 아킬레스도 거북을 따라 잡을 수 없다는 역설이다. 사실 이 역설과 위의 둘레가 0인 점이 직선을 만드는 것은 크게 다르지 않아 보인다.

이런 역설들은 무한대와 무한소가 서로를 상쇄하는 형태로 해소된다. 서로 다른 두개의 무한이 서로를 상쇄하여 결국은 유한한 무언가로 바뀌게 된다. 두개의 서로 다른 지름의 원도, 동일한 길이의 직선에 모든 점이 대응될 수 있다. 아킬레스는 거북을 따라 잡을 수 있다. 그리고 위 원통도 현실에 볼 수 있듯이 수학적으로 명확하게 둘레가 0인 이 점이 직선을 이룰 수 있다. 두개가 달라보여도 서로 1:1로 대응해서 넘어서면 그만이다. 만약에 자연이 실수로 이루어져있다면 0과 1 사이의 실수나 0과 2사이의 실수가 같다는 것을(두개가 1:1로 대응 가능한 무한이라는 점을), 수학은 그림으로 증명하고 있는 셈이다. 멋지지 않은가? 눈으로 봐도 칸토어의 시도가 곧바로 보인다.그리고 그것이 증명되어야 위 원통이 굴러가지 않겠는가? 위 0~1 사이의 모든 실수와 0~2사이의 모든 실수에 대한 간단한 1:1 매핑 방법은 독자들을 위해서 남겨두겠다.

 칸토어의 무한에 대한 이해의 극적인 점은 1:1 대응하는 두가지 무한한 집합이 동등하다는 점이다. 예를들면 그가 증명했던 것처럼 유리수와 자연수는 1:1로 대응된다는 점에서 정보로서는 크게 다르지 않다. 이것은 프로그래머가 흔히 다루는 코드 체계와 같다. 1,2,3,4에 어떤 글자가 대응이 되겠지만, 컴퓨터가 내부에서 처리할때는 사실 1,2,3,4라는 번호만 보일 뿐이다. 그것을 개별 글자로 인지하는 것은 단지 그것을 매핑해서 화면에 뿌릴 뿐이고, 사람이 각 글자를 그렇게 해석하면 그만이다.

 즉 자연수와 유리수는 근본적으로 동일한 코드체계로 설명된다는 점에서 서로 다르지만 동일하다.

 튜링이 만든 튜링머신도 마찬가지다. 매우 달라보이지만, 그것은 모든 것을 계산할 수 있는 현대의 컴퓨터와 사실은 동일하다. 현대의 컴퓨터가 더 많은 기능을 갖고 있는것 같지만, 계산 능력에서는 별반 차이가 없다. 오히려 이런 것들은 가장 최소화하여 본질을 설명하는 것으로 축소 시키면 이론적으로 다루기가 쉬워진다. 과연 계산이라는 면에서 컴퓨터를 튜링머신보다 더 단순화할 수 있을까?

 존 콘웨이의 Life Game인 자기 복제하는 생명체가 어떤 단순한 법칙의 반복에서도 발생한다는 것을 보여주는 놀라운 존재이다. 그것은 복잡해보이는 자연의 법칙을, 몇가지 게임의 법칙에 대응시키고, 그 법칙이 반복되었을때 무언가 복제되어 유지되는 존재가 나타남을 보여주었다. 어느 정도의 구조여야 자연을 실제로 닮는 "계"가 탄생하는지 등등은 조금더 생각해볼 일이지만, 콘웨이는 Life Game이 자연과 대략 동등하게 해석할 수 있다고 믿었을 것이다.

https://www.youtube.com/watch?v=aSFL7PXj15M 

 강화학습이 유행하면서, 그리고 오래전에 인공생명이 논의될때 적절한 시뮬레이터에서 지속적으로 프로그램을 진화시키면 지능같은데 나오지 않겠느냐고 고민했던 시절이 있다. 그 시절의 고민은 과연 그 시뮬레이터를 얼마나 단순하게 만들어도 지능이 등장하는가였다. 아직도 이 질문에는 여러가지 기술적인 문제들이 있지만, 이론적으로 어느 정도의 시뮬레이터로 보상이나 벌칙을 주면 결국에는 지능같은 것이 나타날지가 보여질 수 있다면 꽤 가치있는 연구가 아닌가 생각된다.

 이처럼 수학에는 두가지 다른 것을 같게 만들거나 단순하게 만드는 작업들이 많은 혁신을 이루게 함을 알 수 있다. 어찌보면 게임 속 세상이나 현실이나 일정한 법칙하에 살아가는 것은 동등하니 둘이 별로 다르지 않다는 해석도, 매트릭스와 현실을 구별하지 않는 영화 속 상황도, 우리네 이성이 이런 동일성에 대한 본능적으로 반응하는 것일지도 모르겠다. 서로 달라보이지만 결국에는 같은 것들을 합쳐나가는 노력이 세상을 다른 시야에서 볼 수 있게 해주는 원동력이 될 수 있지 않은가?  

 그리고 다시 처음 논의로 돌아가보면, 이 과정은 칸토어의 1:1 대응에 대한 증명이 나는 가장 큰 아이디어가 되지 않을까 싶다. 불필요한 것들은 제거하고 1:1로 대응되면 같은게 아니겠는가.

전에 소수가 특정 수를 압축하여 나타내는데 사용될 수 있다고 묘사하였다.

즉 에라토스테네스의 체를 생각해보면 알게 되듯이, 소수는 수를 대칭으로 분할했을때( https://infoengineer.tistory.com/31 ) 나오는 "연속"을 처리할때 더 단순화 하는 방법이다.

무한의 수 중에서 2의 배수들은 2의 n번 반복으로 재정의 된다. 그러면 1의 2n번 반복보다는 2배 더 단순화할 수 있게 된다. 이렇게 3의 배수는 3의 n번 반복이다. 5의 배수는 5의 n번 반복이다.

그리고 이 n번 반복은 또다시 소수를 가지고 인코딩하면, 가장 단순한 형태의 수로 나타낼 수 있게 된다.

그런데 이전에 밝혔듯이 이보다 더 단순화를 할 수가 없다.

소수들은 1이 아닌 무언가의 반복으로 나타낼 수 없기 때문이다. 따라서 소수는 숫자를 반복으로 나타내는 구조에서 더이상 압축하여 나타낼 수 없는 정보가 된다.

소프트웨어 엔지니어가 이를 구현한다고 하면 소수는 테이블을 필요로 한다.

즉, 아래와 같은 소수 테이블에 의거하여 그것을 반복하는 형태의 인코딩을 해서만이 모든 수를 복원할 수 있다.

    1번배열 - 2 (첫번째 소수)

    2번배열 - 3 (두번째 소수)

    3번배열 - 5 ..

    4번배열 - 7 ..

    5번배열 - 11 ..

    ..

그리고 이 각각의 소수들은 동등한 권한을 갖는데 어차피 서로가 서로를 반복해서 곱해서 표현할 수 없기 때문이다. 따라서 말 그대로 숫자의 독특한 '원자'로서 작동하게 된다.

만약에 숫자를 소수의 곱으로 압축하는 방법과 같이, 이 소수를 조금더 압축하는 방법이 있다고 하면(결국 가우스가 소수의 규칙을 찾으려는 시도를 한 것은 이것과 같은 의미라고 생각한다. 저 소수 테이블을 쓰는 방법보다 더 단순한 구현방법을 고민한 것이다. 무한대의 전체 숫자를 나타낼 수 있는 방법 말이다) 얼마나 획기적인가? 다시 한번 다양한 숫자를 압축해서 나타낼 수 있게 된다. 즉 그 규칙을 통해 엄청나게 큰 숫자도 적은 정보로 나타낼 수 있다. 매핑 테이블 하나만 가지면 말이다. 그 매핑 테이블이 과연 무엇이냐가 소수의 규칙을 찾는 문제와 같다.

조금 이야기를 돌려보면, 그래서 소수는 모든 지성을 가진 존재(외계인이라고 쳐보자)들은 발견하게 될까?

그렇다고 생각한다. 언제 만나게 되냐면 세상의 모든 수를 압축해서 표현하고 싶을때 나타나게 된다. 정보를 줄이려는 자는 소수와 만나게 되어 있다. 그리고 이 소수는 예측 불가능하며 섞이지 않고 결국에는 알고리즘이 아니라 테이블로 만들어서 관리할 수 밖에 없다는 사실을 깨닫게 되는 것이다.

이렇게 소수와 소프트웨어의 압축과의 관계를 조금 더 풀어 써보았다.

콜라츠의 추측은 아래 단순한 규칙으로 반복하였을때 모두 1로 귀결된다는 추측이다.

if n is odd, get 3n+1

if n is even, get n/2

초등학생도 이해할 수 있는 문제이기 때문에, 아이들과 같이 이야기하다가 도움이 될 수 있는 만한 정보를 확보하여 기록해 둔다. 상기 계산을 숫자별로 계속 반복한 다이어그램이 바로 아래와 같다.

그런데 이 그림을 조금 계량해 보면, 이 문제를 더 단순화 할 수 있다. 어떻게? 특정 홀수들의 2의 x제곱을 각각의 줄로 나열해놓고 표기하는 방법이다. 이렇게 되면 해당 줄에 들어서면 나누기 2를 반복해서 결국 그 홀수로 귀결된다. 그러면 그 홀수에서 3n+1로 jump하는 식으로 구성할 수 있다.

위 그림에서 아예 홀수를 순서대로 나열하는 그림으로 바꾸면 아래와 같은 그림으로 전환된다.

그런데 가만히 살펴보면 이 화살표를 더 단순화 할 수 있다는 것을 알 수 있다. 일단 어느 홀수 선에든 닿으면 그것은 최종의 맨 상단의 본질적인 홀수로 닫게 되고, 그것이 다시 3n+1 jump를 해도 결국 그 jump한 홀수 선의 맨 처음으로 다시 귀결하기 때문이다. 따라서 아래와 같이 그려도 사실 어느 곳으로 움직이냐를 단순화 시켜 나타낼 수 있다.

이것을 더 크게 나타내보면 아래와 같다. 이번에는 even*2^x 패턴에서 이 even값들만 나열해보자. 그러면 더 간단히 나타낼 수 있다.

보다보면 오른쪽으로 이동이나 빨간색 왼쪽 이동은 일정 패턴이 있다는 것을 알 수 있다. 다만 어려운 것은 주황색의 왼쪽 움직임이다. 이 왼쪽 움직임은 몇가지 확인을 해본 결과 3*n을 빼놓고는 모두 닿으면서 다소 불규칙하다. 그래서 사실은 이 주황색의 움직임을 정형화 할 수 있다면 콜라츠의 추측 전체를 증명할 수 있지 않을까 싶었다. 그리고 이 이동이 사실은 테렌스 타오의 증명에 나오는 함수와 연관이 있다는 사실을 알게 되었다. 이 주황색의 움직임은 결국 소수와 연관이 있지 않을까? 그래서 불규칙한가? 라는 생각도 했었다.

이 작업을 진행하면서 3n+1 규칙 대신에 5n+1, 7n+1, 9n+1, 11n+1 등의 규칙을 조사해보았는데, 이런 확장에 대해 다소 규칙성이 있다.  새로운 규칙들에 대해 아래 숫자들을 발견하였다.

3n+1 -> 8n + (7-3)

5n+1 -> 8n + (8-5)

7n+1 -> 8n + (8-7)

9n+1 -> 16n + (16-9)

11n+1 -> 16n + (16-11)

다만 5n+1, 7n+1 등 일때는 순환이 다양한 양상으로 전개되고, 규칙 패턴이 조금씩 다르게 나타난다(검은색, 빨간색의 패턴이 다르다)

이 정보만으로 증명하기는 어렵지만 문제를 이해하는데 조금더 단순화한 그림을 제공할 수 있다고 생각한다.

이 문제에 대한 짧은 유투브 동영상을 같이 공유한다. 위 패턴중 주황색 패턴을 이해하여 이 문제의 증명에 도움을 받는이가 생겼으면 좋겠다.

https://www.youtube.com/watch?v=094y1Z2wpJg 

소수(prime number)란 무엇인가?

암호화폐와 양자컴퓨터의 등장으로 RSA 비대칭 암호화 방식이 점점더 주목을 받기 시작했다. 그리고 이 안에 숨어있는 것이 소수이다. 그리고 수학의 정수론에서 이 소수는 늘 나타난다. 왜일까?

최근에 깨달은 것은 이 소수는 기계적으로 처리하기 어려운 예측 불가한 수라는 사실이다. 무언가 반복해서 쉽게 알아내기 어렵다. 수는 대칭적인 속성이 중요하다는 얘기를 전부터 자주해왔는데, 소수는 특이하게도 1과 자기 자신 외에는 나눠지지 않는다. 즉 여러가지 계산에 있어서 원자처럼 작동한다. 1을 여러번 더하면 되잖아요! 라고 할 수 있는데 그게 다다. 1을 반복하는 것 외에는 저 수에 도달할 방법이 없다. 그냥 뻥하고 태어난다. 2,3,5,7,11,13,17,.. 들이 그렇다.

무한히 존재하는 수를 기계적으로 매끄럽게 압축해서 표현하는 여러가지 방법이 있는데, 괴델의 불완전성의 정리에도 나오는 대로 이 세상의 모든 수는 각각 소수의 연속된 무슨 제곱의 곱으로 나타낼 수 있다. 2^a * 3^b * 5^c * ... 이러면 꽤 큰 수들을 나름 아주 압축해서 나타낼 수 있다. 예를 들면 이런걸 소수 진법이라고 칭하면 저 위의 abcde..만 모아서도 수 체계를 만들 수 있다. 그렇게 소수는 이 숫자들의 최소 구성요소로 간단하게 말할 수 있고, 더이상 압축할 수 없는 말단이다. 그런데 이렇게 정의하는 데는 이 소수의 목록이 필요한데, 그걸 그냥 테이블로 저장하는 방법 외에는 더 축소해서 나타낼 방법이 없다. 이렇게 기계로 줄이는데 여하튼 더이상 방법이 없는 수들이다.

만약에 소수에 규칙이 존재한다면 더 압축할 수 있겠다. 그것은 수의 원자를 새로 선언하는 일이 된다. 아직은 벌어지지 않는다. 정수론을 이것저것 증명하다가 소수가 발견되면 거기가 끝이다. 더이상의 정리는 불가능해진다. 거기가 쪼개질 수 있는 한계이다.

그리고 그런 성질들이 현대의 비대칭 암호화 큰 축을 지탱하고 있다.

짐 홀트의 책 "아인슈타인이 괴델과 함께 걸을때'를 보면 무한을 최초로 정확히 해명한 수학자로 알려진 칸토어가 한 업적이 나온다.

첫째는 어떤 두가지의 무한이 서로 본질적으로 같다는 것을 증명하는 방법(무한한 자연수와 유리수가 같다)과 그렇게 같지 않은 더 큰 계위의 무한이 존재하며, 늘 그 무한을 원소로하는 집합을 재창조함으로서 그것이 가능하다는 증명을 했다는 점이다.

흥미롭게도 이 관점은 엔지니어로서는 무한이라는 것을 컴퓨터로 구현한다는 관점에서 바라볼 수 있다.

사실상 무한이라는 것은 단순히 큰 메모리를 할당하는 것으로는 구현할 수 없다. 이를 테면, 전체를 나타내기 위해서는 메모리가 부족하게 된다. 그래서 흔히들 컴퓨터에서의 변수의 크기는 가질 수 있는 값의 범위를 제한하여 격리한다. 그런데 사실, 잘 설계하면 셀수 없이 늘어나는 것을 담을 수 있게 설계는 할 수 있다(물론 메모리가 충분히 커야하는 것은 어쩔 수 없다)

돌이켜보면 0과 1사이의 유리수 값이나, 전체 정수값이나 사실은 본질은 같은 것이다. 왜 그런가 하면 두 무한한 수 체계를 나타내기 위해 구현해야 하는 컴퓨터 코드가 크게 다르지 않기 때문이다.

즉 유리수와 정수는 생긴 모양은 다르지만 무언가 특정해야할 하나의 값이고, 같은 비용을 들여서 구현할 수 있다는 말이다. 생긴 것은 다르지만 1:1로 매핑이 가능한 본질적으로 같은 구현으로 해소가능하다.

예를 들면, 무한의 수를 나타내는 것은, 앞서의 고정된 메모리를 범위로 간단히 할당하는 것 외에, linked list같이 나타낼 수 있다. 

가장 간단하게는 2진수를 무한히 표기할 수 있도록 하는 방법을 생각해보자.

2개의 bit를 가지고 그 왼쪽 bit는 더 상위비트가 존재하는지, 오른쪽 bit는 그 자리수의 bit값 형태로 나타내고 필요에 따라 계속 2개의 bit씩 늘려가면 무한한 값을 encoding할 수 있다.

실제 예를 들면, 자리수가 정해진 1 0 1 (2)는  11 10 01 (encoded 2, 앞 bit가 다음 자리수의 존재여부) 같은 형태로 나타낼 수 있다는 말이다. 그러면 이 체계는 곧바로 정수와 유리수 모두를 나타냄에 있어서 사실 크게 다르지 않다. 칸토어가 제시한 1:1 대응 방법으로 이름만 붙이면 그만인것이다. 그 두개의 집합은 같은 무한의 체계이며 기계적인 구현이 같다.

칸토어의 업적은 따라서 무한의 수 체계를 기계적으로 나타내기 위한 구체적인 구현 동의성을 나타냈다라고 은유할 수 있다. 그렇게 인류는 무한을 기존의 여러가지 추상적인 관점에서, 더 구체화하여 이해했다고 생각한다.

 랜덤에 대해서 가장 인상적이었던 것은 https://infoengineer.tistory.com/5 에서 언급했듯이 폰 노이만의 "임의의 숫자들을 낳는 산술적 방법을 고찰하는 사람은 누구나 할 것 없이 당연히 죄를 짓고 있는 것이다" 라는 말이다. 기계적으로는 사실은 완벽한 랜덤을 만들 수가 없다. 기계는 알고리즘에 의해 정해진대로 값을 출력하게 되는데, 랜덤을 만드려는 인간은 예측 불가능한 값을 원하는 것이 함정이다. 기계는 예측 가능할 수 밖에 없기 때문이다. 오로지 유사 난수(난수처럼 보이지만 사실은 엄밀한 의미에서는 예측이 가능한 난수)만 기계로 생성이 가능하다.

 이론적으로는 기계가 만드는 난수는 튜링머신이 만드는 난수이고, 같은 튜링머신으로 예측이 가능하다고 간단히 정의할 수 있다. 즉 기계가 만드는 난수는 예측불가능한 난수가 아니다. 단지 모를 뿐이다.

 그런데 자연에서의 여러 현상을 기술하는 것은 랜덤으로 다뤄지고 있다. 앞서 소개한 양자 난수 발생기도 그러한 원리에 기원한다. 그러나 나는 이론적으로는 이것이 더 엄밀하게 정의되고 매칭될 필요가 있다고 생각한다. 수많은 확률/통계가 순수한 예측불가능한 랜덤을 가정하는데 자연이 실제로 그렇게 작동할지는 아무도 모를 일이다. 그런데 랜덤을 계속 고민하다보면 랜덤에 그 레벨이나 등급이 있다는 사실을 금새 깨닫게 된다. 그리고 그 안에는 대칭의 속성들도 연관된다.

 먼저, 시작하기 전에 모든 무한한 랜덤은 기술적으로는 무한히 발생하는 0과 1의 흐름으로 대치될 수 있다는 것을 밝혀두자. 단순히 생성되는 숫자를 2진수로 바꾸는 것만으로도 이 논리는 성립한다. 그런 숫자를 무한히 생성하면 결국 0과 1의 무한한 나열로 곧바로 매핑된다.

 추가로 코멘트 해둘것은 아래 각 등급은 지속 검토하여 더 세분화되거나 같은 것이면 합치는 과정을 반복하게 될것이라는 점이다. 여기서는 일단 시작을 해보자.

랜덤함에서 있어서 기본적으로 2가지를 기대한다.

1) 랜덤은 대칭적인 분포를 기대한다. 누구도 편중된 것을 랜덤하다고 하지 않는다. 무한히 발생하는 0과 1의 흐름은 결국 50%:50%씩 발생하는 것을 기대하게 한다. 이 공평함이 깨질수록 랜덤하지 않다고 간주된다. 0과 1의 상대적 비율이 랜덤하지 않음을 나타내게 된다.

2) 랜덤은 예측 불가능을 기대한다. 누구도 예측가능한 것을 랜덤하다고 하지 않는다. 위에 언급한 것처럼 튜링머신이 만들어낼 수 있는 0과 1의 흐름은 랜덤함에서 어긋난다고 볼 수 있다. pi의 소수점 이하 자리수, 무리수의 소수점이하 자리수 전개가 대표적인 예인데 반복되지 않고 고르지만, 곧 그 숫자를 나타내는 전개를 찾아낼 수 있다. 즉 튜링 머신으로 그 소수의 전개를 따라 예측해나갈 수 있게 된다. 하지만 신기하게도 반복되지 않는 무리수는 그 소수점 이하 2진수 전개가 모두 반복되지 않으면서 대칭적인 분포를 기대할 수 있을 것이라 예측된다. 나는 이것이 수학적으로 증명할 수 있으리라 기대한다. 즉 2진수로 무한히 나타내어질때 0과 1의 빈도수가 50:50으로 수렴하며 0과 1의 일정 길이 패턴들도 마찬가지로 고르게 분포하며 순서가 없다는 점이다.

ㅇ예를 하나 들어보자. 01010101..로 무한히 반복되는 수는 1)의 대칭적인 분포를 기대할 수 있지만, 아무도 이것을 랜덤이라고 하지 않는다. 예측 가능해지기 때문인데, 동일 패턴이 반복되는 것은 곧바로 튜링 머신으로 대치할 수 있기 때문이다. 이는 랜덤이라는 요소의 예측 가능성에 몇가지 정도가 있음을 나타낸다. 그런데 사실 위에 언급된 것처럼 파이 이하의 소수점도 본질적으로는 010101같은 반복패턴과 같은 것은 역시 튜링머신으로 이를 구할 수 있기 때문이다. 아마도 차이는 무한히 예측하기 위해서는 알고리즘이 조금더 복잡해지는 정도겠다.

 따라서 이 튜링머신의 예측 복잡도를 정의하면 랜덤함을 조금더 수학적으로 정의해볼 수는 있겠다(다만 그런 행위가 의미를 가지는지는 아직 모르겠어서 생략한다)

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#TBD

그리고 다음 질문은 이 대칭적인 분포와 예측 불가성이라는 두 속성의 관계에 대해서이다. 언뜻보면 예측 불가능성이 대칭적인 분포를 강제하는건 아닐까 생각이 들 수 있다. 이건 생각보다 쉽지 않은데, 대칭적인 분포를 보증하기 위해서는 어찌보면 과거에 0만 계속 나왔다면 앞으로는 1을 더 많이 출력해야하는 경향을 더 지니게 되는 형태로 유도되기 때문이다. 즉 신기하게도 과거가 예외적인 상황일 수록 예측 가능해지게 되는게 아닌가?