정보엔지니어 (맥스웰의 도깨비, 양자컴퓨터)

 숫자를 깊이 고민하는 자는 신의 고민을 만나게 되지 않는가.

 소수의 규칙에 대한 의의 중에, 소수에 규칙이 있다면 수 체계를 좀더 압축해서 표현할 수 있다고 언급한 적이 있다. 모든 수를 각 소수의 곱으로 나타내면, 특정 수를 나타내기 위한 정보의 수가 줄어든다. 그런데 이 과정에서 소수의 규칙이 없다면 "소수의 테이블"이 필요하다. 결국 원래의 1,2,3,4 숫자체계에 얽히게 되며 독립되지 않는다. 컴퓨터 상에 구현한다고 생각하면, 소수의 배열을 따로 가지고 있어야 되며, 그 배열의 길이는 무한해야 한다.

 그런데 소수의 법칙이 발견되면 즉 몇번째 소수를 바로 알 수 있다면 저 무한의 테이블이 필요없게 된다. 아무리 큰 숫자를 표현하기 위해서도 무한의 메모리가 필요없다. 나는 이 상황을, 특정 대칭 체계가 더 작은 대칭 체계로 전환된 것이라고 생각할 수 있지 않나 싶다.

 1,2,3,4 등의 기본 숫자 체계가 더 압축되게 된다. 그런데 재미있는 것은 이렇게 한번 압축한 후에는 계속 압축이 가능하다. 몇단계의 압축을 거쳤지만 기록하면 얼마든지 더 압축할 수 있다. 따라서 수 체계에서의 소수의 규칙성이란 대칭 체계를 무한히 더 작은 대칭 체계로 교체할 수 있는지와 관련이 있어 보인다.

 대칭과 대칭의 변환 문제가 이 소수의 규칙 문제에 숨어 있지 않은가. 그런 생각이 들었다.

 초기 과학자들이 엔트로피를 논하게 되면서 이해가 잘 안되었던 것은 이 무질서의 세상에 왜 생명이 존재하는가 하는 문제다. 세상은 점점 무질서해지고 헝클어져야 하는데, 생명은 늘 항상성을 보존하고 그것을 전파한다. 그리고 이 문제에 대해서는 에너지가 외부에서 공급되는 계에서는 엔트로피가 감소할 수 있다는 일리야 프리고진의 연구가 존재한다.

 이 관련해서 좀더 살펴보면, 엔트로피의 세상 안에서도 특정하게 엔트로피를 감소시키는 듯한 국소적인 현상이 일어난다. 그것은 random의 특성인데, 작은 확률이지만 엔트로피 감소를 유도하는 기적이 발생한다는 점이다.

 하나의 큰 박스안에 에너지를 집어넣고 그 움직임을 관찰한다고 치자. 그것들은 서로 충돌하여 다양한 모습을 나타낼 수 있다. 예를들면 사과를 박스안에 넣고 열을 더해주면 그 사과 분자들이 분해되어 충돌하며 날뛰게 될것이다. 그러면 다시 그 분자들이 날뛰어 충돌하다가 다시 사과로 돌아올 확률이 얼마나 될까? 정답은 말도 안되게 낮다는 사실이다.

 그런데 흥미롭게도 무한의 시간을 관찰하면 어떻게 될까? 정답은 사과가 된다이다. 시간이 증가될수록 사과가 되지 않은 확률이 반복될일이 줄어들게 되며 무한의 시간이 되면 그 확률은 0이 된다. 결국 사과가 다시 나타난다. 무한의 힘이다. 놀랍지 않은가? 엔트로피의 법칙은 어디에 갔나 싶겠다.

 또한 가장 유명한 지적은 pi의 소수점 아래 전개가 random처럼 보이며, 그것을 어느정도 구분해 알파벳으로 변환하면(두자리씩 끝어서 01은 A, 02는 B식으로 하면 된다) 언젠가 pi의 소수점 아래 전개에는 셰익스피어의 작품이 등장한다는 것이다. 왜냐하면 무한의 random에서는 모든 일이 발생하기 때문이다. 모든 일이 발생하지 않는 것도 자연의 대칭에 위배된다. random함이 보장되고 무한의 반복이 진행되면 결국에는 모든 일이 발생한다. "이것이 자연에서의 엔트로피의 아이러니다. 무질서해지지만, 그 안에는 우연히 질서가 태어난다."

 상기와 유사한 현상을 가지고 인공 생명에서는, 진화상의 생명의 당위성을 주장한다. 우주가 무한의 시간에서 벌어지고 있다면, 어디엔가 에너지를 흡수해 자기를 복제하고 항상성을 유지하는 생명은 탄생한다. 무한의 random, 엔트로피에서도 도래하지 않는 질서란 없기 때문이다. 엔트로피 증가가 다분히 모든 것을 헝클어지게 만든다는 것과 대치되는 시각이자 반 엔트로피가 되는 현상이다.

 책 "허수, 베리 마주르 지음" 에서 발견한 이 질문에 대해 조금 고민해보면, 생각보다 의심의 여지없는 답을 하는 것이 꽤 어렵다는 것을 알 수 있다. 왜냐하면 이 질문은 곱하기 음수가 무엇인지, 사람이 잘 알기 어려운 개념을 묻기 때문이다.

 이 질문에 답을 하기 위해서는 수가 무엇인지 그것도 음수가 무엇인지 그리고 곱하기가 무엇인지에 대한 정확한 이해가 필요한데 대부분 그렇지 못하고, 이 질문을 처음 만났을때의 필자도 마찬가지였다.

 수에 대한 정의에 있어서 필자는 다른 글에서 대칭체계의 부산물로서 설명한 적이 있고, 이 작업은 흥미롭게도 더 깊이 추상적으로 내려가볼 수 있다. 그러나 깨달은 것은 더 추상화하지 않더라도 직선상에 0이라는 점을 찍고 그 양쪽으로 한쪽은 1,2,3,4라는 양수, 그리고 반대쪽으로는 -1,-2,-3-4로 가는 음수로 정의해도 전체의 틀을 잡는데는 크게 부족하지 않다는 사실이다. 그리고 이러한 체계는 일단은 기본수학교육을 받은 모두가 익숙하다는 장점이 있다.

그러면 다시 처음 질문인 음수와 음수의 곱으로 돌아가보자.

음수란 양수의 대칭점에 있는 수이다. 방향이 다른 쪽으로 뻗어가며 곱하기란 "몇번을 반복해서 그쪽으로 이동하는 것인가"에 대한 연산이다. 특히 양수에 있어서는 이 정의들은 형태만 다르지 이견이 없게 잘 이해할 수 있다.

즉, A와 B를 양수라고 했을때, A * B 라는 것은 원점에서 A만큼의 이동을 B번 반복한다. 직관적으로 머리속에 잘 그려진다.

그러면 다음으로 -A * B는 무엇일까? 이것도 어렵지 않게 A의 대칭에 있는 -A로의 이동을 역시 B번 만큼 반복한다는 것으로 이해할 수 있다.

그런데 과연 A*-B, 즉 A를 -B라는 음수만큼 반복한다는 것은 어떤 의미일까? 결론적으로는 신기하게도 그 의미가 명확해서 음수곱하기 음수가 양수가 되는 것이 아니다. 사실은 대칭의 연산체계에서 유일하게 서로 모순이 없도록 정의할 수 있는 방법이 바로 음수곱하기 음수가 양수가 되도록 하는 방법이기 때문에 그렇게 된다.

 이를 테면 곱셈의 교환법칙이나 결합법칙 등 우리가 사용하는 법칙을 양수와 음수 모두에서 만족시키는 방법은 아래 몇가지를 살펴봐도

 -1 * A = -A

   1 * -1 * A = -A

-1 * -1 * A = A

-1* (-1*A) = A

-1 * (-A) = A

바로 무언가의 음수 곱은, 앞의 수를 음수의 절대값만큼 반복한다음에 부호를 바꿔주는 방법 뿐이다. 그래야 모순이 없다. 양수에서 만족하는 사칙 연산의 법칙들이 음수에서도 별 특이 변화없이 만족하도록 확장하려 하면, 음수와 음수의 곱은 양수가 되어야 한다.

 싱겁게도 정답이 위와 같다. 사칙연산의 일반적인 양수에서의 패턴을 그대로 유지하려면 그래야 한다.

이 외에도 덧셈의 반대연산인 뺄셈, 곱셈의 반대연산인 나눗셈, 그리고 곱셈의 거듭연산인 지수와 그 반대 연산인 로그 등으로 확장되고 그리고 그 연산들이, 미지수 x를 구하는 대수학에서 분수와 무리수, 허수를 낳게 되듯이 이 대칭체계는 그렇게 무모순을 만들기 위해 계속해서 개념들이 탄생하게 된다. 인간이 상상할 수 없는 방식과 숫자가 계속 탄생하게 되는 것이라고 볼 수 있다. 그렇게 음수를 음수번 반복하면, 다시 양수가 나타나야만 이 숫자 체계가 완전해진다. 허수는 인간의 개념속에 존재하지 않지만 그런 특성을 지녀야만 수 체계가 모순없이 구성된다. 누군가는 아마 이런 음수 곱셈 개념들이 개념이 머리속에 맑게 당연할 수도 있겠다. 그런데 많은 사람들이 그러지 못하고 그냥 그 특성으로 외워야될 수도 있을 수 있는 것이다. 그것이 유일하게 모순되지 않는 방법이라고.