정보엔지니어 (맥스웰의 도깨비, 양자컴퓨터)

 다음은 책 수학재즈(에드워드 B. 버거, 승산출판사)에 나오는 카오스 이론의 소개이다. 이 작가는 카오스 이론을 엑셀로 직접 보여주며 알려준다. 사실은 수학에서의 카오스 이론은 단순한 법칙이 지속 반복해서 적용되었을 때의 놀라운 복잡성에 대한 이야기인데, 여기서는 아래 계산을 반복한다는 점을 우선 이야기해보자.

         다음값 = 직전값*직전값 -2

그리고 엑셀에 이 값을 넣어서 흔히 하듯이 표와 식을 만들어 계산해보면 아래와 같은 결과를 얻을 수 있다. 초기값을 0.5로 잡아보자. 첫번째 계산 탭에서는 단계가 커질 수록 그 반복 계산 값이 나오는데, 이때 특이한 것은 두번째 계산이다. 15단계에서 첫번째 계산의 결과값을 오른쪽 컬럼에 옮겨적고 동일한 계산을 이후로 같이 반복해보자.

그런데 놀라운 일이 벌어진다. 49단계 정도까지 가면, 이 최종 계산의 결과가 달라진다. 물론 앞에서도 조금씩 달라지긴 했는데, 마지막에는 전혀 다른 값으로 변한다. 대체 왜일까? 엑셀의 버그인가?

신기하게도 이 유사한 고민을 기상학자 로렌츠도 했었고, 그는 그 연구 결과를 가지고 카오스의 아버지로 불리게 되었다. 

 이렇게 값이 틀어지는 이유를 간단히 먼저 설명하면, 사실 저 15단계의 옮겨적은 값은 컴퓨터 메모리상에서는, 아주 작지만 서로 차이를 가진다. 엑셀은 소수점이하 값을 표기할때 특정 유효숫자 이하는 가리고 보여주는 정책을 가지고 있기 때문이다. 그래서 아마도 저 값은 1.52216347xxx.. 처럼 xxx에 숫자가 더 있을테다. 그런데 화면의 값을 보고 옮겨적인 수치는 정확히 1.52216347값이 들어가겠다. 그리고 이 작은 차이값은, 소위 되먹임 계산을 반복하면서 점점 큰 차이를 내며 49단계 정도에서는 아예 서로간 다른 계산 값을 보여주게 된다. 이것이 바로 날씨를 제대로 예측하기 어려운 현실에 대한 수학적 이해이다. 매우 작은 값의 차이고 얼마간 되먹임을 반복하면 전혀 다른 상황이 되는 것이다.

 즉, 북경의 나비의 날개짓이 결국에는 뉴욕에 태풍을 불러 일으키게도 할 수 있다는 말의 실제 메카니즘이다. 되먹임 계산들은 흔히 저렇게 단순한 계산(이전 값을 두번 곱해서 2를 빼는 정도라도)임에도, 마치 불규칙해보이는 것처럼 작은 초기값 차이에도 결과값이 크게 바뀌게 되기 때문이다.

 그리고 이 소개를 하는 이유는 이 근본에 숨어있는 결국은 무한에 대한 내용이다. 상기 되먹임 계산이 정확히 재현되기 위해서는 소수아래에 무한한 정확도를 지녀야만 함이 자명하다. 계산을 반복할 수록 소수점 아래의 정보들이 더 길게 커지기 때문이다. 위 계산에서도 0.5가 한 단계를 지나 -1.75가 되고, 그 다음은 1.0625가 된다. 몇 단계 가지않아 소수점 아래 자리수들은 엄청난 자리수로 늘어나게 된다. 그리고 이 엄청난 자리수는 역시 조금만 생략 되어도, 몇 단계 후의 결과를 완전히 뒤바꿔버린다. 자연이 계산을 할때 곤란한 경우가 되겠다. 왜냐하면 처리해야하는 계산이 지속 기하급수적으로 늘어나기 때문이다. 게다가 대충 생략해도 결과가 완전히 바뀐다.

 양자역학에서는 이미 플랑크 상수라는 물리량의 최소 단위를 정의하는 값이 존재하기는 하지만, 이 현상들은 재미있는 실험의 가능성을 상징한다. 어떻게든 유효 자리수에 대한 내용을 이런 일정한 되먹임 계산을 통해서도 입증할 수 있지 않을까? 과연 자연은 이 과정을 어떻게 처리할까? 절대온도 0도에서 발생하는 다양한 현상들로 되먹임을 일으키는 현상을 만들고 한참동안 지켜보면 어떨까 하는 상상이다.

 수학적인 계산에 의해 자연이 작동한다고 믿게 되면 이런 여러가지 재미있는 질문을 던질 수 있게 되는 것같다. 카오스에 대한 재미있는 설명(엑셀을 도입한!)이라 옮겨 실어본다. 

수학자들 사이에서 유명한 오일러 공식(Euler's formula)은 아래와 같다.

그리고 여기 x에 파이(pi)를 할당해 계산하면 아래와 같은 항등식으로 바뀌게 되고, 많은 수학자들이 놀라워했듯이 수학에서 가장 유명한 두 상수가 이렇게 만나 간결하게 정리된다. 

이에 대한 세부 내용은 아래 위키에서 확인할 수 있다. https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%98%A4%EC%9D%BC%EB%9F%AC_%EA%B3%B5%EC%8B%9D

다만, 여기서 같이 살펴볼 것은 이 두 무리수 파이와 자연상수 e에 대한 내용이다. 과연 이것이 무엇일까?

첫번째로 파이(pi)는 잘 알려져 있다시피 반지름과 원의 둘레 사이의 비율을 정의하는 상수이다. 즉, 간단히 설명해보면 직선에서 곡선으로 변환되는 비례관계를 표현한다. 더 쉽게는, 파이는 늘 곡선과 연관되어 있다고 말할 수 있다. 따라서 대부분의 곡선을 다루는 방정식들은 이 파이를 만나게 된다. 당신에게 곡선을 나타낼 도구가 필요한가? 그러면 곧바로 파이와 맞닿게 되어 있다.

 sin과 cos을 다룰때도 파이가 등장하는 이유는 그 두 그래프를 보면 명확하다. 그 그래프 값들은 곡선이며 그렇게 파이와 직결된다. 삼각형의 비율로 묘사되는 이 삼각함수들은, 사실은 원 궤도를 움직이는 2차원 평면상의 좌표로도 나타낼 수 있기도 하고 삼각함수는 파이와 절친한 친구이다.

그래서 파이는 이렇게 곡선을 묘사한다고 이야기해도 틀린 말이 아니다.

그러면 두번째로 자연 상수e(=2.718..)란 어떤 존재인가? 여러가지 정의로 나타낼 수 있지만, 가장 이해하기 쉬운 정의는 다음과 같다.

f(x)=e^x (e의 x제곱) 라는 지수 함수가 있을때, 이 함수를 미분해도 다시 그 자신이 되는 e값이다.

즉, d(e^x)/dx = e^x가 되는 e값이다.

조금더 풀어서 이야기하면 x에서의 함수값 f(x)와 그 접선의 기울기 값 f'(x)가 같다. 즉 해당 점에서의 변화율이 그 함수의 값과 같다. 함수값이 커질때 변화율이 그 함수값보다 작아지는가 커지는가로 나누는 경계가 된다. 자연상수 e값으로 지수함수를 구성할때는 이 값이 같다.

그러면 왜 이 값이 의미가 있을까? 이자율이나 여러가지 지수관계를 다룰때, 이 값은 마치 대칭의 중앙값 같은 역할을 하게 되기 때문에 계산이 쉬워지게 만드는 역할을 할 수 있다. 10을 밑으로 하는 log는 그저 편의상 만들어진 10개인 인간의 손가락 수에 의존하는 숫자이지만, ln은 이러한 수학의 변화율에 대한 법칙이 만들어낸 어떤 특정한 값이다. 따라서 지수함수와 대칭점에 있는 로그함수를 다룰 때 아예 자연상수 e를 사용한 로그 ln을 상정함으로 인해 계산 결과를 더욱 깔끔하게 정리할 수 있다. 새로운 비율의 숫자로 수학을 구성했을때 더 간결하게 나타낼 수 있는 셈이다.

 다시 풀어쓰면, 지수함수에 대해서, e보다 작은 값에 대해서는 이제 변화율이 그 함수값보다 작고, e보다 큰 값에 대해서는 그 변화율이 그 함수값보다 커지게 되면서, 이 두 세계를 나누는 경계가 된다. 윗 세상과 아랫 세상을 나누는 무언가가 된다. 즉 지수 관계에서 특정한 대칭을 이루는 한 지점으로 된다.

사실은 그래서 개인적으로 자연상수 e가 곡선을 다루는 파이보다 더 의미있어 보인다. 자연상수 e는 무리수에서나 찾을 수 밖에 없는, 늘어나고 줄어드는 사이의 가운데 중간값이기 때문이다. 마치 정수에서 음수와 양수를 0으로 나누듯이, 지수함수의 변화를 그 미분값보다 더 크게하고 작고하고의 대칭 중간점을 자연상수 e가 정의하고 있기 때문이다.

 그리고 참고로 허수에 대해서는 따로 설명하지 않겠지만, 신기하게도 복소 평면에서의 허수 i는 회전으로 묘사될 수 있다.

 그리고 이에 더해 앞서 밝힌 관계들은 이렇게 다시 돌아가보면, 복소 평면에서 아래와 같은 관계를 지니게 되는 것이다.

그리고 이 x가 pi만큼 회전했을때는, 위 공식의 양변이 모두 -1이라는 값으로 가게되며, 결국 아래 값을 만족하게 된다.

 이 두 상관없어 보이는 지수함수의 증가의 기준과 곡선을 다루는 두 무리수 상수가 이렇게 딱 떨어지며 관계를 이루고 있는 셈이다. 그리고 정리해보자면 e는 변화율에 대한 대칭의 지점이며 pi는 이 회전에서의 어딘가 곡선값을 처리한다고 간략히 묘사해볼 수 있겠다.

무한의 무언가가 세상에 존재할까? 라고 물으면 ,그 중의 한 후보가 바로 시간이다.

시간은 지금과 그 다음이 있을 것이라고 믿어 의심치않게 경험할 수 있기 때문이다. 에너지는 보존되며 무언가가 바로 이 다음에 일어난다. 어느 시간이든 늘 1초 다음이 존재한다. 그러한 시간의 축 속에서 우리는 지금 이 특정 시기에 존재하고 있다.

그런데 무한의 시간대를 가정하면 이 시간의 대부분은 엔트로피가 지극히 높아진 상태, 그러니까 잡음만 가득하고 에너지는 평형을 이룬, 변화가 의미가 없는 상태가 대부분일테다. 책 "시간의 끝"에서는 우주가 계속 팽창하고, 별은 모두 타 버린 엔트로피가 극대화된 세상을 이야기한다. 차가운물과 뜨거운물이 뒤섞여서 더이상 무언가 능동적으로 변화하지 않는다. 이 시기가 바로 우주의 대부분이며 사실은 무한의 범위를 놓고 보면 100%에 해당한다. 엔트로피가 낮은 상태는 그 초반의 얼마간 뿐이 아니겠는가? 그런데 왜 우리는 이렇게 완전히 에너지가 평형을 이뤄버린 세상에 있지 않는가? 그것은 과연 우연인가.

 여기에 대해 2가지 고찰을 해볼 수 있다. 첫번째로 우리같은 이런 생각을 할 수 있는 생명이라는 존재가 엔트로피가 어느정도 낮으면서 외부에서 에너지를 제대로 공급받을 수 있는 시기에만 존재할 수 있다는 사실이다. 불평을 할 수 있는 존재가 가능한 시기가 몇 안되는 시기다. 우주가 의식을 갖을 수 있는 기회는 어느정도 시간이 흐른 초기 뿐이고, 나머지 암흑의 시기(?)가 무한의 범위를 압도해 버릴텐데, 그 시기에는 아무도 불평하지 못하는 것이다.

 두번쨰는 엔트로피의 통계적인 특성에 따라 커질 뿐이지, 우연을 통해 새로운 질서의 작은 파도가 생길 수 있다는 점이다. 무한의 시간 속에서 우연은 또다른 작은 낮은 엔트로피의 세상을 만들어 낸다. 그것은 무한히 작아지겠지만, 무한의 모수에서 작아지는 것은 별 의미가 없지 않을까. 따라서 생명이 존재하는 시기의 우주는 역시 무한히 반복되지 않을까. 그런데 이 두번째 논의는 조금더 곱씹어봐야할 주제이긴 하다. 엔트로피의 대상은 양자역학 수준의 미시 세계이고 이미 그 끝이 플랑크 상수로 정해진 대상이다. 따라서 어떤 우연의 쏠림이 새로운 우주를 만들어낼 정도가 되려면, 현재 우리가 있는 이 안보다는 더 상위수준의 세계가 존재해야만 한다. 그러한 계층적 세계가 존재할지 좀더 고민이 필요하다.

 이렇게 무한의 시간속에서 우리가 특별한 이유를 찾아볼 수 있겠다. 이 논리 외에는 공평하게 우리의 존재를 논하기 쉽지 않지 않은가