정보엔지니어 (맥스웰의 도깨비, 양자컴퓨터)

 골드바흐의 추측은 "2보다 큰 모든 짝수는 2개의 소수(동일 소수 포함)의 합으로 나타낼 수 있다" 라고 간단히 기술된다. 그리고 이는 아직 증명되지 못했다.

 이 문제를 파내려가다보면 결국 소수의 규칙성을 필요로 하게 되기 때문에, 아직 그 규칙성이 모호한 소수를 가지고 증명을 하기가 매우 어려운 경우들을 만나게 되겠다.

 이 문제를 여러가지 변형해보는 것도 가능한데, 모든 2개 소수의 합의 조합이 틈이 없이 모든 짝수를 생성해내면 된다.

"a,b를 각기 임의의 소수(prime number)라고 할때, a+b의 모든 조합을 갖는 집합이, n은 1이상의 자연수일때 2n의 집합을 포함한다"

라고 할 수도 있다.

이 문제에 대해서 여러가지가 선행 증명되었는데, 우선 상기 골드바흐의 추측보다 더 약한 골드바흐의 약한 추측이

"5보다 큰 모든 홀수는 세 소수의 합으로 나타낼 수 있다" 이고, 이는 골드바흐의 추측이 참이면 참이되는 명제다.

이 약한 추측에 대해, 2012년 테렌스 타오가 모든 홀수가 5개 이하의 소수의 합으로 나타낼 수 있다는 점을 증명했으며, 2013년 엘프고트가 10의 30제곱 이상에서는 성립되고, 10의 30제곱 이하에서는 컴퓨터로 모두 확인되면서 골드바흐의 약한 추측은 참임이 증명되었다.

결국은 아직 골드바흐의 추측을 증명하지는 못했지만 그 근처까지는 가있는 모양새이다. 그런데 여기서 흥미로운 것은 주로 소수(prime number)는 곱을 통해 숫자를 분해하는데 그 덧셈이 커버하는 영역을 다루는 것이 이 골드바흐의 추측이라는 점이다. 이런 점에서 더 다루기 까다로울 수 있겠다. 간단히 골드바흐의 추측을 살펴보았다.

자료상으로는 쌍동이 소수 추측(두 소수의 차이가 2인 소수가 무한히 존재한다)과도 관련이 있다고 한다.

https://namu.wiki/w/%EA%B3%A8%EB%93%9C%EB%B0%94%ED%9D%90%20%EC%B6%94%EC%B8%A1

 스스로를, 요즘 유행하는 3차원 롤플레잉 온라인 게임 세계안의 캐릭터라고 생각해보자. 물론 아직 그렇게 지능있는 존재가 스스로를 인지할 정도로 진보한 게임은 없겠으나, 여하튼 상상으로 상정해볼 수 있다.

 그러면 그 게임 안에는 아마도 마법이 있고, 여러가지 그 게임만의 특이 요소가 있을 것이다. 게임 안의 물리 법칙은 우리네 현실을 모사했기 때문에 그 둘간에는 어느정도 유사하겠지만, 엄밀한 의미에서 같지는 않을 것이다. 아마도 게임 안의 세계가 훨씬 더 일관성이 낮을 것이라고 본다. 게임 세계의 물리 법칙의 목표는 현실과의 유사성만 유지하면 되기 때문이다. 그 일치 정확도를 소수점 아래 수십자리까지 일치 시킬 필요는 없다. 여하튼 이런 저런 재미요소로 다양한 이유로 게임안의 세계는 특정 틀의 법칙을 지니고 움직이게 된다.

 여하튼 그렇다가 그 게임 안의 캐릭터로서는 언젠가 이런 의문이 들었다고 하자.

"왜 하필이면 이 세계는 이런 법칙으로 작동하는가?"

 앞서 밝혔듯이 게임 안에서는 게임 밖의 사정을 전혀 모르기 때문에 왜 세계가 그런 법칙을 갖게 되었는지 설계자의 생각을 스스로 알기가 어렵다. 따라서 이 부분은 순전히 상상의 영역에서 검토하게 된다. 그런데 가만히 세상에 존재할 수 있는 많은 법칙의 조합들을 생각해보면 다음과 같이 조금더 분할해서 질문해 볼 수 있다. 이제 다시 우리가 처한 우주에 대해 생각해보자.

 왜 우주는 대칭과 보존이 그렇게 엄밀하게 성립하고 있는 것일까. 적당히 근사해서 맞거나 일정 수준 랜덤으로 해도 될것 같은데, 자연은 그렇게 호락호락 하지 않다. 그런데 어떤 관점에서는 이산적인 구조를 가지고 있다. 왜 원자의 개념을 도입하고 있는가? 무한이나 무한소를 도입해 인간이 인지하지 못하는 범위까지 정밀도를 낮춰 나갈 수도 있을텐데, 그렇지 않다. 이미 플랑크 상수를 통해 자연이 띄엄띄엄하다는 사실이 밝혀져있다.

 또한 잘 알려져있듯이 자연상수 몇개만 바뀌었어도 우리 우주의 양상이 달라졌을 것이다. 그런데 왜 하필이면 지금 이 상태인가?

 유명한 오캄의 면도날(Ockham's razor)은 어떤 현상을 설명할때, 더 간단한 모델을 채택하라고 이야기한다. 그런데 신기한 것이 이것은 수학적으로도 근거가 있다. 예를 들면 복잡도가 낮은 모델 A와 복잡도가 높은 모델 B를 탐색해서 찾아냈는데, 특별히 복잡한 모델 B가 A보다 더 큰 정확도로 예측하지 못한다고 가정해보자. 그러면 이 상황에서는 단순한 모델 A를 채택하는 것이 더 좋은 전략이다. 왜냐하면 어떤 문제와의 설명 일치 여부를 탐색해 찾아낸 몇가지의 후보 모델이 있을때, 특정 문제를 더 단순한 모델이 푸는 경우가 확률적으로 더 낮기 때문이다. 바꿔 말하면 단순한 모델은 동일한 역할을 하는 다른 복잡한 모델보다 더 어렵게 찾아지는 bias가 덜 될 수 있는 모델이라고 이야기해볼 수 있다. 이렇게 더 단순한 모델은 복잡한 모델에 비해서 찾기 어려운, 더 큰 장점을 갖는 모델이 된다.

 지금 우주의 법칙들이 만약에 여러가지 랜덤한 체계 속에서 하나 선택된 것이라면 어떨까? 이미 다수의 반복에서 얻은 어떤 특수한 사례 중 하나라고 보면 또다른 분석 방법이 될 수 있다. 물론 우리의 현재 상황이 이런 랜덤으로 선택된 경우에서의 매우 특수한 하나 일 수는 있다. 무한의 우주의 시간대 속에서 엔트로피가 어느정도 충분한 상태의 우주라서 지능이 나타나는 하필 그 시기같은 상황 말이다.

 그럼에도 불구하고 이러한 여러가지 의문 틀은 이 시뮬레이션 이론의 여러가지 면을 상상하는 데는 도움을 주지 않을까 싶다. 간단하게 남겨놓아 본다. 최소한 법칙이 존재한다는 점이나, 그 법칙에서 벗어나는 점이 발견되지 않는다는 점 등이 일상적인 랜덤적인 요소와는 매우 거리가 있다는 점 등이 도대체 흔하지 않은 상황임은 참고 되어야 하겠다.

 우리가 사는 세상을 시뮬레이터로 생각해보면. 사실은 시뮬레이터 밖의 사정에 대해서 알 수가 없겠다. 게임의 세계 안에서 게임 밖의 세계를 알 수가 없다. 물론 어떤 인터페이스가 있을 수 있다. 설계에 반영하면 그만이기는 하다. 그러나 아직 그 대칭과 보존이 철저히 지켜지는 우리가 살고 있는 세상에서 생각해보면(아직은 어떠한 예외도 검증되어 관측되지 않은 상태에서) 무언가 밖을 볼 수는 없는 상황인 것이 인지 상정이다.

 따라서 이 시뮬레이션 이론이라는 알 수 없는 이론을 탐구하기 위해서는 우리 안에서 그것을 파악해나갈 수 밖에 없는 안타까움을 지니고 있다. 게임 안에서 게임 밖을 상상해야 하는데 이것은 거의 랜덤과 가까운 관계를 유추해나갸아하는 상황이다. 애초에 불가능할 수도 있겠다. 따라서 그저 그 시뮬레이터 안을 들여다보는 것 밖에 할 수가 없고, 그것이 수학자와 물리학자의 합심에 의해 진행되고 있는 것이 현 상황이다.

 그러나 그러함에도 불구하고 이 거대한 계산 체계의 장에서 숨기기 힘든 골치아픈 것들이 있다. 바로 비연속과 무한이다. 소프트웨어 개발에 있어서 이미 무한의 문제는 골치아픈 일임이 잘 알려져있다. 즉, 0으로 나누면 어떻게 표기해야 할지 난감하며 무한은 그것의 무한의 정확도를 보증하기 위해서는 무한의 저장공간이 필요하다. 이 문제 속에서 대칭과 보존을 정확히 처리하는 문제는 시뮬레이터를 디자인함에 있어서 가장 난감한 부분 중의 하나가 되는 것이다.

 하나의 해결 방법은 모든 것을 아주 작은 단위의 깨지지 않는 무엇인가로 상정하는 방법이다. 바로 원자이다. 그렇게 되면 무한의 저장공간이 필요하지 않고 유한의 공간만으로 가능하다. 배열을 만들고 그 배열에 원자들을 배치하면 그만이다. 0과 1로만 그 모든 것을 처리할 수 있다. 원자라는 말로 현대의 표준모형과 헷갈리게 할 필요도 없다. 무언가 가장 작은 단위를 상정하고 그것을 기준으로 처리하면 된다.

 따라서 이산적으로 다루는 것은 이 시뮬레이터의 계산을 혼란스럽게 하지 않기 위한 가장 쉬운 접근방법이다. 계산은 원자단위 까지만 하고 나머지는 "근사"하면 그만이다. 그러나 이 근사는 각 원자스러운 것들 사이의 관계가 완벽해야 한다. 이를 테면 자연에는 시간이나 에너지나 질량이나 공간처럼 서로 다른 "량"들이 존재하는데 이것들이 같은 표준으로 이루어져야만 이 하나의 "원자"라는 개념으로 각기 변환이 가능하다. 그리고 이것은 현대 표준모형에서는 플랑크 상수라는 것으로 정의되고 있다.

 만약에 이 "원자"라는 개념이 각 물리량마다 다른 체계가 있으면 문제가 있는 것이 근사를 통해 사라지거나 더해지게 된다. 즉 반올림과 반내림이 필요한데, 이전에 설명한대로 특정 변환이 무한이 반복되면 지속적으로 반올림이 생기거나 반내림이 한쪽으로 치우쳐 발생하면서 결국에는 무언가가 사라질 수도 있게 된다. 이렇게 되면 기나긴 계산의 반복하에서 위의 대칭과 보존이 무너지게 된다.

 만약에 우리가 존재하는 이 자연(시뮬레이터)이 물리학자들의 주장처럼 전체 시간을 모두 함께 넣고 계산하고 있다면 재미있게도 무한에 대한 고려가 필요하다. 그리고 그것을 완벽하게 대칭시키려면 상기 여러가지 고민이 필요하다.

 그러면 우리가 살아가는 이 자연(시뮬레이터)은 이것들을 어떻게 처리하고 있을 것인가?

 어찌보면 이 질문에 양자역학은 대답을 하고 있는것 같다. 1900년 이후에 그래서 플랑크와 보어는 이 이산적인 것들에 대해서 정리를 해나가기 시작한 것처럼 생각해볼 수 있다. 우주는 과연 이 무한이라는 연속과 이를 둘러싼 비연속을 어떻게 처리하고 있을까? 시뮬레이터의 특성에 대해 특이하게 고민할 수 있는 중요한 주제가 되겠다.