초등학생도 이해할 수 있는 문제이기 때문에, 아이들과 같이 이야기하다가 도움이 될 수 있는 만한 정보를 확보하여 기록해 둔다. 상기 계산을 숫자별로 계속 반복한 다이어그램이 바로 아래와 같다.
[from somewhere on internet site]
그런데 이 그림을 조금 계량해 보면, 이 문제를 더 단순화 할 수 있다. 어떻게? 특정 홀수들의 2의 x제곱을 각각의 줄로 나열해놓고 표기하는 방법이다. 이렇게 되면 해당 줄에 들어서면 나누기 2를 반복해서 결국 그 홀수로 귀결된다. 그러면 그 홀수에서 3n+1로 jump하는 식으로 구성할 수 있다.
[even numbers & multiply by 2^x]
위 그림에서 아예 홀수를 순서대로 나열하는 그림으로 바꾸면 아래와 같은 그림으로 전환된다.
[sequantial even number & mulply by 2^x of each, then jump to 3n+1]
그런데 가만히 살펴보면 이 화살표를 더 단순화 할 수 있다는 것을 알 수 있다. 일단 어느 홀수 선에든 닿으면 그것은 최종의 맨 상단의 본질적인 홀수로 닫게 되고, 그것이 다시 3n+1 jump를 해도 결국 그 jump한 홀수 선의 맨 처음으로 다시 귀결하기 때문이다. 따라서 아래와 같이 그려도 사실 어느 곳으로 움직이냐를 단순화 시켜 나타낼 수 있다.
[simplification of previous movement arrows]
이것을 더 크게 나타내보면 아래와 같다. 이번에는 even*2^x 패턴에서 이 even값들만 나열해보자. 그러면 더 간단히 나타낼 수 있다.
보다보면 오른쪽으로 이동이나 빨간색 왼쪽 이동은 일정 패턴이 있다는 것을 알 수 있다. 다만 어려운 것은 주황색의 왼쪽 움직임이다. 이 왼쪽 움직임은 몇가지 확인을 해본 결과 3*n을 빼놓고는 모두 닿으면서 다소 불규칙하다. 그래서 사실은 이 주황색의 움직임을 정형화 할 수 있다면 콜라츠의 추측 전체를 증명할 수 있지 않을까 싶었다. 그리고 이 이동이 사실은 테렌스 타오의 증명에 나오는 함수와 연관이 있다는 사실을 알게 되었다. 이 주황색의 움직임은 결국 소수와 연관이 있지 않을까? 그래서 불규칙한가? 라는 생각도 했었다.
[larger diagram of previous movement arrows - irregular orange arrows]
이 작업을 진행하면서 3n+1 규칙 대신에 5n+1, 7n+1, 9n+1, 11n+1 등의 규칙을 조사해보았는데, 이런 확장에 대해 다소 규칙성이 있다. 새로운 규칙들에 대해 아래 숫자들을 발견하였다.
3n+1 -> 8n + (7-3)
5n+1 -> 8n + (8-5)
7n+1 -> 8n + (8-7)
9n+1 -> 16n + (16-9)
11n+1 -> 16n + (16-11)
다만 5n+1, 7n+1 등 일때는 순환이 다양한 양상으로 전개되고, 규칙 패턴이 조금씩 다르게 나타난다(검은색, 빨간색의 패턴이 다르다)
[movement arrows for "5n+1 and n/2 rules"]
[movement arrows for "7n+1 and n/2 rules"]
[movement arrows for "11n+1 and n/2 rules"]
이 정보만으로 증명하기는 어렵지만 문제를 이해하는데 조금더 단순화한 그림을 제공할 수 있다고 생각한다.
이 문제에 대한 짧은 유투브 동영상을 같이 공유한다. 위 패턴중 주황색 패턴을 이해하여 이 문제의 증명에 도움을 받는이가 생겼으면 좋겠다.
이와 관련하여 이더리움 작업을 자동화하는 script화가 필요하고, 가장 쉬운 방법은 geth 자체의 명령을 geth attach 라는 형태로 script화 하는 것이다. 편의상 여기서는 linux의 bash shell을 통해 geth attach 기능을 사용해 보자.
우선 먼저 가정이 필요한데, script 실행하는 같은 서버에 geth가 최소한 lightmode로 작동하고 있다고 가정했다
(물론 full mode도 작동한다)
아래 처럼 nohup으로 geth를 light mode로 띄워놓자. nohup을 사용하면 다행스럽게도 terminal을 종료해도 geth가 계속 살아있다.(geth process를 만약 kill해야 한다면, ps -ef geth 명령으로 확인하여 kill PID 명령을 통해 죽이자)
eth.sendTransaction({from: fromacc, to: toacc, value: transferval, gas: gaslimit, gasPrice: gasprice});
...
특정 계정(fromacc)에서 특정 계정(toacc)으로 gas price, gas limit을 정하여 실행한다. 이때 parameter로 사용되는 gas, gas price, gas limit이라는 것을 알아보자.
ㅇgas는 gas limit을 의미한다. 해당 송금을 요청할때 사용자가 지불할 수 있는 최대 허용 gas를 정의한다.
대개 단순 송금은 21,000이다. 특이한 것은 조금더 올려 잡아도, 이더리움 송금이 최종 완료되고 나서 남으면 돌려준다. gas는 이더리움 송금 외에도 ERC-20 방식 등 별도의 이더리움 기반 코인 등 송금할때도 사용하기 때문에, 복잡한 transaction에는 높은 gas를 부과해서 처리한다.
ㅇgas price는 사용하는 gas에 곱하여 최종의 송금비용(transaction fee)를 ethereum으로 계산할 수 있다. gas price는 높이 부과해줄수록 더 빠른 송금이 가능하다. 예를들면 일반 이더리움 송금은 21,000 gas를 소모하는데, 대략 gas price는 35~60 gwei(giga wei) 정도 된다. 참고로 wei는 이더리움을 더 작은 단위로 부르는 값인데 아래와 같이 이해하면 된다.
10^18 wei = 1 Ether
0.000000000000000001 Ether = 1 wei
1 gwei = 1 giga wei = 1,000,000,000 wei
sendTransaction에서 이 gas(gas limit), gasPrice(gas price)를 생략하면 디폴트 값으로 요청되고 다소 해당 값이 작을 수도 있어서 가끔씩 오류가 발생할 수도 있다. 그리고 송금하려는 이더리움과 이 수수료가 모두 잔고에 남아있어야 송금이 성공된다. 잔고가 부족한 경우 잔고 부족 오류가 발생한다.
에러 예시> Error: Insufficient funds for gas * price + value - 송금지정금액+송금비가 잔액을 초과한 경우
gas required exceeds allowance - gas limit이 작아서, 더 큰 gas limit 지정이 필요한 경우
gas price는 시간이 오래 걸려도 상관없으면 1 gwei를 지정해서 처리하기도 한다. 그러면 지금 이더리움 네트워크의 대략의 gas price는 얼마인지 궁금한가? eth.gasprice 를 사용해도 되고, 사이트에서도 확인할 수 있다. etherscan.io 사이트에서 각 transaction에 사용된 gas price, gas등도 확인이 가능하다
이런 스크립트는 어떻게 작성할 수 있을까? 필자는 crontab과 geth attach script를 결합해보았다.
이를 테면 계좌를 반복적으로 조회하면서, 잔액이 일정액 이상 남아있으면 송금하는 작업을 반복할 수 있다. 다만, 구동시 에러(peer 접속 중단 등)가 나면 해당 geth attach가 Exception으로 중단되는데, 다시 작업을 이어주기 위해 crontab에 주기적으로 다시 띄워준다. 다만, 해당 script에는 동일한 geth attach script 명령이 기 동작 중이면 실행되지 않고 멈추도록 앞 부분에 "ps -ef"를 활용한 방어 코드를 넣어주었다.
# crontab registration - run every 10 minutes this script # 10,20,30,40,50 * * * * cd /work/geth;/bin/bash repeatedtrasfer_eth_from_knownaddr.sh # # 2021.08.05 by neibc #
# run this script only where there is no duplicated attach job # because it tries to run sendTransaction continuously if there is no error(disconnection or something) #
암호화폐와 양자컴퓨터의 등장으로 RSA 비대칭 암호화 방식이 점점더 주목을 받기 시작했다. 그리고 이 안에 숨어있는 것이 소수이다. 그리고 수학의 정수론에서 이 소수는 늘 나타난다. 왜일까?
최근에 깨달은 것은 이 소수는 기계적으로 처리하기 어려운 예측 불가한 수라는 사실이다. 무언가 반복해서 쉽게 알아내기 어렵다. 수는 대칭적인 속성이 중요하다는 얘기를 전부터 자주해왔는데, 소수는 특이하게도 1과 자기 자신 외에는 나눠지지 않는다. 즉 여러가지 계산에 있어서 원자처럼 작동한다. 1을 여러번 더하면 되잖아요! 라고 할 수 있는데 그게 다다. 1을 반복하는 것 외에는 저 수에 도달할 방법이 없다. 그냥 뻥하고 태어난다. 2,3,5,7,11,13,17,.. 들이 그렇다.
무한히 존재하는 수를 기계적으로 매끄럽게 압축해서 표현하는 여러가지 방법이 있는데, 괴델의 불완전성의 정리에도 나오는 대로 이 세상의 모든 수는 각각 소수의 연속된 무슨 제곱의 곱으로 나타낼 수 있다. 2^a * 3^b * 5^c * ... 이러면 꽤 큰 수들을 나름 아주 압축해서 나타낼 수 있다. 예를 들면 이런걸 소수 진법이라고 칭하면 저 위의 abcde..만 모아서도 수 체계를 만들 수 있다. 그렇게 소수는 이 숫자들의 최소 구성요소로 간단하게 말할 수 있고, 더이상 압축할 수 없는 말단이다. 그런데 이렇게 정의하는 데는 이 소수의 목록이 필요한데, 그걸 그냥 테이블로 저장하는 방법 외에는 더 축소해서 나타낼 방법이 없다. 이렇게 기계로 줄이는데 여하튼 더이상 방법이 없는 수들이다.
만약에 소수에 규칙이 존재한다면 더 압축할 수 있겠다. 그것은 수의 원자를 새로 선언하는 일이 된다. 아직은 벌어지지 않는다. 정수론을 이것저것 증명하다가 소수가 발견되면 거기가 끝이다. 더이상의 정리는 불가능해진다. 거기가 쪼개질 수 있는 한계이다.
