정보엔지니어 (맥스웰의 도깨비, 양자컴퓨터)

앞서는 1차원상에서 대칭을 통해서 정수를 전개할 수 있음을 알았는데, 그러면 다차원에서의 대칭은 무엇일까? 이에 대한 답을 찾아가는 과정에서 여전히 대칭의 핵심 개념은 "다르지만 같은" 존재이다. 즉 관점(축)을 바꿔도 이전과 같게 보이는 것이 대칭 관계 구성의 핵심이다.

 대칭을 위와 같이 "바뀐 관점"에서 기존과 동일한 것을 다룬다면, 대칭의 핵심은 또한 "바뀐 관점" 즉 변환에 있다는 사실을 알 수 있다.

 이전에 소개한 1차원상의 0점을 기준으로 거울로 바라보는 관계에 있는 곳의 위치가 바로 이런 대칭 관계를 구성하는데, 이렇게 동치를 만드는 축이 x축, -x축(x축을 뒤집어서 음양의 방향이 바뀐것) 2가지의 축 구성 방식이다.

아래 이 2가지 축을 살펴보자.

그런데 축, 즉 좌표계는 '관점'에 따라 다양한 대칭을 창조해 내도록 할 수 있다. 바로 앞 처럼 간격이 일정한 좌표계가 아니라 간격이 달라지는 좌표계라고 하면 조금더 다른 대칭을 만들 수 있다. 예를 들면 이런건 어떤가? 일반 적인 상황에서는 전혀 대칭이 아니라고 생각되지만 변환의 정의나 축의 모습을 다르게 하면 일련 대칭이라고도 볼 수 있다. 즉 대칭은 변환이 서로 같으면서 다른것이 될 가정만 만족하면 성립된다.

 이렇게 기존의 우리가 알던 대칭이(반사 대칭, 미끄럼 대칭, 회전 대칭 등) 특정한 가정하에서 벌어지고 있음을 알게 되면, 대칭은 가정에 따라 정의되기 나름이라는 사실도 곧바로 알 수 있다. 대부분의 수학자들 사이에 논의되는 대칭은 평등하다고 생각되는 기준에 의거하는데, 대체로 1차원을 예로 들면 0을 기준으로 거울대칭이 그 대표적인 예(첫번째로 예를 들었던)가 되겠다.

 그러면 2차원 대칭에서의 대표적인 거울대칭과 회전대칭 등은 어떻게 규정할 수 있을가? 사실은 3차원에 익숙한 우리가 2차원을 바라볼때, 2차원에서 벗어나서는 뒤집고 뒤틀어서 다시 돌아가도 서로 등가라고 생각한 변환들에 의거한다. 조금더 구체적으로 말하자면 x,y,z축이 자유롭게 변환되지만 scale이 달라지는 상황을 가정하지는 않는다. 상식적인 수준에서의 대칭이 다뤄진다고 이야기할 수 있을까.

 더 자세히 기술해보면 거울대칭은 축의 음,양의 방향 전환을 의미한다. x축이면 -x축으로 뒤집힌 것이고, y축이면 -y축으로 뒤집힌 것이다. 음과 양의 방향이 앞서 서술한대로 "같으면서 다른", "뒤집힐 수 있는 임의적인" 것 이라는 점을 생각해보면 어렵지 않게 이 둘이 대칭관계가 본능적으로 인지됨을 알 수 있다.

 미끄러짐 대칭은 축의 전환이다. x축과 y축을 서로 바꾸면 된다. 

 회전대칭은 조금더 어려운데 x,y축이 상호간의 방향을 유지한체 말그대로 회전하고 있는 것이다. 0점을 기준으로 원을 그린다음에 축을 조금씩 돌려나가면서 생기는 대칭을 다룬다. 이렇게 3개의 기본 대칭을 다루는 것이 2차원의 대칭이다.

(그리고 조금 생각해보면 서로의 대칭들 간에 관계가 있음을 알 수 있다. 회전대칭을 이루는 축 변화의 특정한 형태(90도, 190도, 270도 등)가 바로 거울대칭과 미끄러짐 대칭의 특정 유형의 일부이다. 그러나 신기하게도 회전만으로는 거울/미끄러짐 전체를 구성할 수는 없다.

 여기서 단순하게 차원별로 몇개의 대칭관계를 지닌 축의 유형이 존재하나를 추적해보다. 단 여기서는 회전대칭은 논의에서 빼자. 회전 대칭은 사실은 수없이 많으므로(무한대) 다루기가 까다로워 져서, 거울대칭과 미끄러짐 대칭 즉 음/양 방향전환과 축 교환만을 염두해두자.

1차원에서는 2개의 축 구성 방식이 존재한다. x축 하나의 음과 양의 방향 2가지 축 구성 방식이 있다.

2차원에서는 8개의 축 구성 방식이 존재한다. x,y 2개 축의 음양이 각각 2개이며, 여기에 x,y의 축 교환 2개 조합이 있다.

3차원에서는 18개의 대칭쌍 유형이 존재한다. x,y,z 3개 축의 음양이 가각 2개이며, x,y,z의 축 교환 6개(=3!)이다.

그래서 n차원에서는 n*2*n! 축 구성 방식이 존재한다는 것을 알 수 있다.

24차원의 공간에서는 사실상 우리가 임의 좌표 축을 그리면 그에 대응되는 대칭 좌표축이 자연스럽게 저렇게나 많이 존재한다(물론 모든 축간의 교환이 동등한 경우에 말이다). 그리고 그 한 방식은 저렇게 수많은 방식과 사실은 같은 대칭 관계를 구성하게 해준다.

차원이 확대될때의 대칭의 의미에 대해서 제대로 숙고된 별도 자료를 찾을 수 없어 개인적인 메모를 일단 올린다. 향후 잘 정의된 일반화를 찾게 되기를 바란다.

코로나 바이러스 시대를 맞이하여(?) 정보엔지니어에서 바이러스와 생명의 일반화(?)에 도전해보려고 한다. 일반화라니?

 먼저 책 하나로 시작할텐데, 양자역학에서 다루었던 슈뢰딩거는 노년에 느닷없이 "생명이란 무엇인가?"로 강연을 하고 이 강연을 묶어 출판한 작은 책이 바로 동명의 작은 책이다(1944년 출간).

http://blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=exbris&logNo=221332986820

 그리고 이 책은 그가 한, DNA가 밝혀지지 않았던 그 시기에 유전정보와 생명에 대해서 지금에서야 당연하지만 그때 당시에는 선구자적인 그러한 예측들이 등장한다.

 맨 먼저 생명체는 상당히 크기가 커야한다고 주장한다. 원자 수준의 입자들은 양자역학적인 특성으로 늘 무질서한 운동을 하기 때문에 늘 엔트로피를 거슬러 살아가야하는, 질서를 전제로 하는 생명과는 맞지 않다는 설명이다. 즉, 충분히 커야만 일관성을 가지고 음의 엔트로피를 지니며 존재할 수 있다는 점이다. 정교하고 예측된 상호작용만이 에너지를 대사하며 무질서에 저항하고 자신을 보존하고 자손을 퍼트릴 수 있기 때문이다. 

 그리고 다음 주장이 더 중요한데, 유전 정보에 대한 것이다. 유전정보의 크기를 대략 1000개 정도의 원자 크기 정도로 보았다. 양자역학의 불연속성과 분자 수준의 구조만이 어떠한 정보를 보관하면서 일관되고 변형되지 않게 안정될 수 있다고 보았다. 유전자의 분자구조에 대해 아무것도 모를 당시로서는 명쾌하고 놀라운 예측이 아닐 수 없다. (프란시스 크릭 등이 모두 이 책에서 영감을 얻어 유전자 연구를 시작했다고 알려져있다)

 조금더 구체적으로 접근해보면 인간의 유전자 30억쌍을 변형없이 저장하고 계속 복제하는 방법을 엔지니어 관점에서 고민해보면, 그것이 쉽지 않다는 것을 단박에 알 수 있다. 거시적인 세계에서의 기록과 복제는 늘 당연하게도 변화하기 때문이다. 바위에 새긴 글씨도 곧 닳아 없어지고, 금속은 녹슨다. 톱니는 늘 오류를 일으키며, 아날로그로 대표되는 복사는 늘 오류를 양산한다. 생명체도 돌연변이가 있지 않느냐 반문할 수 있겠으나 기본적으로 그 돌연변이라는 것은 매우 드물며, 그것이 30억쌍이라는 정보를 대상으로 한다는 사실을 감안하면, 생명체는 어마어마하게 정확한 저장소이자 복제 수단을 갖지 않으면 안된다는 사실을 알아차릴 수 있다. 그것은 아날로그같은 것이 아니라 디지털의 무엇이어야만 한다. 뚝뚝 끊겨야 하고 엄청난 힘이 아니고서는 변하지 않는 것이어야 한다.

 자연이 그러한 요구사항을 만족시키면서 유전 정보를 다루는 자연스러운 방법은 슈뢰딩거의 주장대로 분자 구조에 저장하는 법 뿐이라고 생각된다. 그래서 필연적으로 그것은 거시적인 생명체가 관찰하기 어려운 아주 작은 것(분자수준)이며, 웬만해서는 부서지거나 변형되지 않는 안정적인 존재이며 필요하면 어떤 프레임웍하에서(DNA복제) 금방 복제될 수 있는 존재여야 한다.

 그러면 이러한 상황에서 바이러스는 무엇인가? 바이러스는 밝혀진대로 이러한 특성을 지니는 유전정보의 일종의 부스러기다. 이 유전 정보는 다른 생명체에 침입하여 유전 정보 복제기에 자신을 도달시킬만한 최소한의 수단만 갖추고 있는 작은 덩어리다. 일단 DNA를 다루는 표준 체계의 공장에 도달하기만 하면 곧 복제되고, 계속 다른 세포로 옮겨갈 수 있으며, 다시 또다른 생명체의 다른 세포에 도달하기만 하면 같은 과정을 반복한다. 생명체들이 사회와 생태계를 이루며 서로 닿지 않고는 살아갈 수 없다는 사실을 알면 이또한 필연히 일어나는 과정이겠다.

 이러한 존재는 적당한 구조와 조건만 생기면 끈질기게 살아남을 수 있다. 어떻게 완전히 박멸한다고 해도 돌연변이에 의해 또한번 생겨날 수 있다. DNA 부스러기들은 지금도 DNA 복제 과정에서 세상에 계속 창조될 수 있기 때문이다. 우연히 그 부스러기가 저런 특성을 갖기만 하면 된다. 그리고 그 부스러기는 다시 돌처럼 닳지도 금속처럼 녹슬지도 않게 보존되다가 우연히 생명체를 만나면 또 복제되어 같은 전파 과정을 거친다.

 컴퓨터 바이러스도 같은 맥락으로 볼 수 있다. 기본적으로 저장장치들은 변형되지 않도록 정보를 저장해야 하고, 바이러스는 그 안정성 속에서 자기 자신을 복제하는 코드를 뒤집어 쓰고 무언가 복제될때 같이 복제되거나 강제로 복제하여 전파시키는 트릭을 부린다(네트워크를 통해 나가거나 다른 저장매체에 복제되거나). 역시 변형없이 저장되어 있다가 그 코드를 실행하는 공통된 환경을 만나면 또다시 자신을 복제해 전파되어 나간다. 생명체와 바이러스의 관계처럼, PC에서는 바이러스가 자생으로 생길 확률은 거의 없다 치더라도(컴퓨터는 돌연변이를 훨씬 덜 발생시킨다) 외부에서의 이식(인간의 개입)이 이 바이러스 탄생을 대신 유발시킬 수 있으며, 물리적으로 보이지 않는 크기로 유지되고 저장되고 복제 된다는 점도 같다.

 이러한 일반화를 다시 설명해보자면, 우주 어딘가 외계에 지구의 DNA 기반 생명체와는 전혀 다른 체계의 생명체와 유전자 정보가 있다고 해도, 위의 지적들 때문에 생명체는 우리 눈에 보일 정도로 클테고, 그 유전자 정보는 우리 눈에 안보인다는 이야기이다. 그리고 아주 높은 확률로 그 생명체에도 바이러스라는 존재가 있을 테다. 그 녀석은 생명체의 복제 체계를 활용해 계속 증식하며 또 다른 생명체로 옮겨다닐 것이고, 박멸되었다가도 다시 돌연변이로 나타나서 또 그 생명체 안에서 맴돌지 않겠는가.

 서글픈 현실이지만 옛 물리학 거장의 예측을 가지고 일반화시켜 보면 위와 같다. 정보와 생명이라는 특성 그리고 물리적인 조건들이 이러한 상황을 만들어낼 수 있겠다.

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