정보엔지니어 (맥스웰의 도깨비, 양자컴퓨터)

이 실험은 영의 이중슬릿 재현 실험의 추가 실험이다.

https://infoengineer.tistory.com/28

다음의 영상들이 참고가 되었다. 편광 필름에 대한 실험이다.

https://www.youtube.com/watch?v=R-6St1rDbzo  (가정용 Quantum Eraser 실험)

앞서 소개한 영의 이중슬릿 실험 재현과 동일한 구성하에 이중슬릿 모양을 관측해보자.

이미 소개한대로 정확히 회절무늬가 관측된다. 

여기에 예전에 이야기했던 Delayed Quantum Eraser 와 유사한 실험을 해보자.

먼저 편광필름을 소개해보자. 3D영화 상영할때 종종 보는 이 편광 필터는 빛이 공간상의 전자기파라고 가정했을때 특정 방향의 전자기파 성분을 흡수한다. 빛이란 원자에서 전자의 궤도가 바뀔때 생성된, 그래서 횡파와 종파가 복잡하게 섞여있는 다수의 그 무엇인데, 이 중에 횡파 성분이나 종파 성분에 대해, 편광필터의 배치 방향에 따라 특정 방향 성분이 모두 흡수되는 것이다. 이렇게 대략 50%의 빛이 흡수된다.

더 구체적으로는 아래 영상을 참조해보자. (15분 48초 지점)

https://www.youtube.com/watch?v=MzRCDLre1b4

편광필터에 대해 잘 모르는 독자를 위해, 영화관에서 3D 영화볼때 사용했던 이 편광 필터가 빛을 차단하는 효과를 보자. 뒤쪽 에 작은 부품을 놓고 그 앞에 필터를 여러종류 배치해서 촬영하였다.

그러면 좀 특수하게 이 편광 필터를 0도와 90도 방향으로 절반씩 잘라서 수평으로 붙인 반반(?) 필터를 만들어 보자. 녹색테잎으로 두 필터를 90도로 연결해 잘라 붙였다. 아래 사진과 같다. 가운데 선이 잘린 면이다.

이제 편광 필터 하나를 가져다 대면 두 잘라붙은 필터중 한곳의 빛만 100% 차단됨(검은색, 왼쪽영역)을 알 수 있다.

이제 위의 절반씩 이어붙인 필터를 이중 슬릿의 구멍의 양옆이 각각의 절반씩 필터에 지나갈 수 있게 이중슬릿 유리판 두에 잘 부착시킨다. 슬릿 간격이 1mm였으므로 조심스럽게 가운데가 딱 걸쳐지게 붙여줘야 한다. 아래 사진을 참조해보자.

 이렇게 되면 양자 역학 실험에서는 광자가 어느쪽의 슬릿(왼쪽, 오른쪽?)으로 들어오는지 알게되는 효과가 있다. 횡파 성분과 종파 성분을 보면 왼쪽에서 들어왔는지 오른쪽에서 들어왔는지 알게 되기 때문이다. 원하는 바에 따라 필터만 배치해도 한쪽 슬릿에서 온 모든 빛을 언제든 차단할 수 있다. 따라서 이제 광자가 어느 길로 들어왔는지 알게 되었다. 이렇게 되면 아까 회절무늬는 어떻게 될까?

보시다시피 약간 어두워지면서(편광 필터에 흡수 되다보니) 회절무늬는 사라지게 된다. 이렇게 되면 그냥 가운데가 밝고 오른쪽으로 갈 수록 어두워지는 일반적인 입자의 성격을 띠는 모양이 나타난다.

그런데 이때 어디로 왔는지 모르게, 다시 이 정보를 지워버릴 수 있다. 즉 위의 0도 90도 편광시킨 필름 바로 뒤에 45도 각도의 편광 필름을 그냥 가져다 두는 것이다. 아래 사진을 주의 깊게 보면, 아까와는 다르게 오른쪽에 작은 네모난 필름 한장이 더 추가됨을 알 수 있다. 45도 방향으로 배치한 편광 필름 조각이다. 

이러면 회절무늬가 다시 나타날까? 나타난다. 더 어두워졌지만 자세히 보면 분명히 보인다.

원 실험에서는 이를 Quantum Eraser로 표현한다. 어느 길로 들어왔는지에 대한 정보를 얻지 못하도록 다시 지워버리니까 파동의 성질이 다시 나타났다.

기존의 전자기파 관점에서는 이미 수평 수직 성분의 전자기파가 각기 제거되었으니 45도 각도의 편광 필름을 더 추가한다고 해서 변할 것은 없고 더 어두워지기만 해야한다.

그런데 양자 역학적 관점은 다르다. 필터를 통과하는 것은 확률만을 결정하는 것이고, 수직/수평 성분의 전자기파가 흡수되는게 아니라 흡수 되든지 통과 하든지 양자 택일된다. (다만 편광 필터의 방향에 따른 파형으로 통과된다. 그래서 90도 꺽인 필터를 만나면 모두 통과될 확률이 0%가 되어 빛이 차단된다.)

 위 실험에서도 0도, 90도 편광 필터를 각각 50%의 확률로 통과한 광자는 45도 편광 필터를 통해서 다시 한번 50%의 확률로 통과되었을 뿐 어느 길로 왔는지는 알 수 없게 되어 버렸다. 기존에 소개한 delayed quantum eraser와 같게 어느 길로 왔는지에 대한 정보가 삭제되자 다시 회절무늬를 만든게 된 것이다(이 실험에서는 delayed 인 것은 아니다. 그냥 quantum eraser이다. 뒤 벽에 상이 맺히기 전에 경로 정보를 지웠기 때문이다.)

고전역학으로는 설명되지 않는 현상이 이 편광 실험으로도 간단히 보일 수 있는 셈이다.

아래는 동영상으로 간단하게 담아보았다. 위 실험 설명을 숙지하면 실제 실험 결과를 확인할 수 있다

https://www.youtube.com/watch?v=KwBlu5IWsiw

이 실험은 과학쿠키를 참고로 했음을 미리 알려둔다.

(천원 숍에서 락카+액자+나무집게+면도날+레이저 포인터 등을 활용해 이중슬릿 실험을 가능하게 함. 작은 비용으로도 꽤 정확하게 실험할 수 있는 방법을 알려준 좋은 영상이었다. 이를 몰랐다면, 꽤 고가의 것들을 구비해야 이 실험들을 할 수 있었을 것이다.)

https://www.youtube.com/watch?v=lnMWQzizc3E&t=612s

회절 무늬 관측에서 조금 더 나아가 레이저의 파장을 측정해보자. 레이저는 잘 알려진대로 특정 파장의 빛만 나와서 전체적인 실험을 훨씬 쉽게한다.

일단 필자의 구성은 이렇다. 아래 왼쪽 레이저와 오른쪽 유리판(이중슬릿)을 통해 사진에는 보이지 않는, 약 5m 뒤의 방 벽에 회절무늬가 맺히도록 했다. 

이중슬릿의 길이를 버니어 캘리퍼스로 측정해보자. 약 1.01 mm 이다. 이중슬릿의 길이를 너무 짧게하면 측정이 어려우므로 처음부터 이중슬릿을 만들때 1mm 정도는 감안하고 만들어두는게 좋다.

방 뒤에 맺힌 회절무늬의 마루와 마루 길이는 대략 3.00 mm이다. 회절무늬가 잘 관측됨을 알 수 있다. 지금생각해보니 하나의 마루와 마루(밝은 점)가 아니라 여러개의 간격을 구해서 개수대로 나누면 길이 측정이 좀더 정확하겠다. 아래 회절무늬가 양쪽에 약간씩 왜곡이 생기는 것은 슬릿이 정확히 직선대로 잘리지 않은 것으로 추정된다. 생각보다 정밀하게 틈을 만들어야 깔끔하게(?) 나온다.

잘 알려진 이 회절무늬 간격에 대한 공식은 대략 아래와 같고, 측정치를 대입해보자. 자세히 공부해보고 싶은 분은 아래 동영상을 참조하자.

https://www.youtube.com/watch?v=MIUqjJAU19M

 (슬릿과 스크린 거리) * (해당 레이저의 파장) = (회절무늬의 마루와 마루 사이의 거리) * (슬릿의 간격)

 4,840 mm * 레이저파장 = 3.00 mm * 1.01 mm

 레이저파장 = 3.03 / 4,840 mm

 레이저파장 = 6.26e-4 mm 

으로 구해보면 레이저 파장은 단위 변환하여 626 nm(나노미터)가 나온다. 대략 붉은식 레이저 스펙인 650 nm과 유사하게 측정된다.

 토머스 영의 이중 슬릿 실험은 오랜 세월이 지난 지금도 회절무늬를 그때 그대로 보여주고 있고, 정확하게 파장에 따른 방정식대로 구해진다. 상기 구성에 편광필름을 이용하면 우리가 알고 있는 양자역학에 더 가까운 현상들을 관측할 수 있는데 다음에 소개해보도록 하겠다.

1) 서로 다른 진법이 나타내는 다른 양상, 그리고 진법이란?

1/3 = 0.333333..... 으로 나타내진다. 그런데 3진수로 나타내보면 어떨까?

1/3을 3진수로 나타내면 0.1(3진수)으로 나타낼 수 있다. 신기하게도 순환하지 않는다.

영어로 base, 우리나라 말로는 진법이라 불리는 이 수 기록 체계는, 사실은 2진법, 8진법, 16진법, 60진법, 20진법 등 과거와 현재에 다양한 진법이 존재한다.

이 표기법을 수학적으로 나타내보자면 특정 수를, x의 제곱들로 덧셈 분할한다. 대략 아래 표현식을 보면 이해할 수 있다.

10진법은 위 경우의 조금더 특수한 경우로 앞의 숫자가 자연수이다.

이 진법을 확장할 수 있을까? 가능하다. 2진법부터 시작해서, 허수진법, 무리수진법, 음수진법 모든 것이 가능하다. 다만 앞에 붙는 상수가, 정수 진법이 아닌 경우에는 규칙에 따라 무의미해지는 경우가 있을 수 있다.

결국에는 이렇게 10진법은 자연수와 정수를 가지고 특정 수를 짧게 나타내주는 표기법이라고 볼 수 있다. 그리고 지나치게 길지 않게 하기 위해 자리수를, 10의 제곱수로 늘려나간다. 지수적인 증가를 채택해서 더 큰 수를 짧게 표현할 수 있는 체계이다.

자, 일단 진법은 그렇다고 치고 이 수를 가지고 유한과 무한을 다룰때로 다시 돌아가보자.

왜 1/3은 10진법과 3진법에 순환하는 양상이 다를까.

10진법에서는 무한한 반복으로 나타내야 하는데 3진법에서는 유한한 숫자로 나타낼 수 있을까?

진법의 본질은 제곱수들로 특정 수를 덧셈 분할하는 것이다. 예컨데 1/10, 1/100, 1/1000 의 자연수 조합으로 수를 나타내다보면 반복되어 그것을 메꿔나가야하는 일이 생긴다. 이 거듭제곱수의 패턴에 따라 어떤 것은 유한하게 반복되어 나타내어야 하고, 어떤 것은 딱 떨어진다.

A) 모든 유리수는 어떤 진법이든 무한히, 같은 숫자들의 그룹(진법상의 각 자리수 숫자/순서가 중요한)이 반복되어 표기되는 것으로 나타낼 수 있다. 그러나 어떤 진법에서는 그 반복이 유한한 것이 다른 진법에서는 유한하지 않을 수 있다.

    증명은 필요하나 어렵지 않게 가능하리라고 본다.

그러면 무리수는 어떨까?

무리수(여기서는 작도 가능한 길이로 한정하자)는 어떠한 진법으로도 반복되는 패턴이 나타나지 않는다.

B) 무리수는 어떤 진법이든 무한히 같은 숫자들의 그룹(진법상의 각 자리수 숫자/순서가 중요한)이 반복되지 않는 수의 흐름으로 나타나게 된다. A와 마찬가지다.

조금더 재미있는 추측을 해보면

C) 무리수에서 나타나는 개별 자리수의 정수값들의 반복은(Ex> 3.14159...에서 무한히 소수점 아래 자리수를 늘려나갈때 개별 각 숫자의 출현 분포, 위에서 말한 해당 진법상의 각 자리수 숫자) 균일하게 나타난다. 어떤 진법에서도 마찬가지 양상을 보인다.

중요한 것은 C의 이유인데, 왜 그럴까?

사람들에게 파이(pi)에 대해 똑같은 질문을 하면 본능적으로 각 숫자들(0~9 각각의 출현 빈도)이 유사한 빈도수로 반복되리라는 것을 알고 대답한다. 나는 이것이 사람이 자연에 대해 느끼는 대칭성때문이라고 생각한다(아직 증명이 필요하겠지만). 무한히 반복없이 흘러가는 수의 흐름이 특정 진법에서 어떤 숫자에 편중되는 패턴을 가지고 움직인다고 하면 대칭적이지 않다. 대칭성은 어떤 진법의 무리수에서도 지켜진다고 믿는다.

2) 2진법의 효용성에 대하여

다양한 진법가운데 가장 좋은 것은 2진법이라고 생각한다. 기계적이고 수학적인 접근에서는 2진법이 여러 방면에서 유리하다. 예를 들면 2진법에서의 짝수는 1의 자리수가 0인 것이 짝수이다. 10진법에서 짝수가 끝이 0,2,4,6,8인 것에 비하면 훨씬 더 단순하게 기술된다. 정수론은 진작에 2진수로 모든 수를 나타냈어야 더 직관적으로 풀렸을 것이다. 그리고 인류가 2진수를 썼다면 0도 더 빨리 발견되었으리라. (10진법이 편한것은 알겠다만 이론적으로는 그렇다는 얘기다)

  (10진법 = 2진법)

  1 = 00001

  2 = 00010 (짝수)

  3 = 00011

  4 = 00100 (짝수)

  5 = 00101

  6 = 00110 (짝수)

  7 = 00111

  8 = 01000 (짝수)

2진법으로 나타냈을때 위에서 언급했던 무리수의 패턴을 보면 자명하다. 0과 1의 개수가 전개 패턴이 서로 다르면서도 균등하게 나온다. 이 관점에서 무리수란 0과 1이 랜덤하게 반복되어 나타나는 것과도 유사한 대칭을 이룰 수 있어 보인다.

이 이야기와는 별도로 랜덤함에 대해서 이해가 필요하다고 믿는데, 칸토어가 무한대의 밀도를 비교했듯이 이 랜덤함에 대하여도 여러가지 등급이나 특성을 부여할 수 있고 이것이 자연을 이해하는데 기여를 할 수 있다고 믿고 있다. 이는 나중에 또 정리해보자.

3) 소수를 사용한 다른 차원의 진법?

모든 자연수는 소수의 연속 곱으로 나타낼 수 있다. 그러면 모든 유리수는 아래와 같이 나타내는게 가능하다.

즉, 분수로 나타낸 수를 아래 위 각기 소수의 거듭제곱 형태로 나타낼 수 있다(아래는 차례로 2,3,5,7까지만 써보자) 

이를 소수진법(위 일반 진법들과 형태는 좀 다르다고 하더라도)이라고 하자. 거듭제곱에 음수를 허용하면 유리수를 나타낼 수 있고, 0이상의 정수만 허용하면 자연수만 나타낼 수 있다. 이미 괴델 등은 각 소수의 거듭제곱 수가 다르면, 서로 겹치지 않은 숫자를 만들어낼 수 있다는 점을 자신의 불완전성 정리 증명에 응용한 적이 있다.

소수진법을 본격적으로 적용해서 2,3,5,7,11,..의 거듭제곱 수를 각각 거꾸로 써서 나타내면 아래와 같겠다. 소수진법에 의한 수라고 해야할까. 물론 각 자리수가 어떤 정수이든 들어갈 수 있다.

이 진법을 직접적으로 쉽게 연산할 수 있는 기계가 존재한다면 소인수 분해 등이 빨라지겠다. 물론 사실은 이는 좀 앞뒤가 바뀌어 있는 논리이긴 하겠다(소수의 패턴이 발견되었다는 의미일테니까). 진법을 따지다보니 이렇게 기존의 로그 스케일이 연관된 것(거듭제곱)이 아닌 완전히 다른 진법을 창조할 수 있겠다 싶어 괴델의 방식에서 착안해 예시로 들어보았다.

이 글들은 이제 https://infomath.tistory.com/ 로 옮겨서 논의해보려고 한다.