정보엔지니어 (맥스웰의 도깨비, 양자컴퓨터)

이 실험은 과학쿠키를 참고로 했음을 미리 알려둔다.

(천원 숍에서 락카+액자+나무집게+면도날+레이저 포인터 등을 활용해 이중슬릿 실험을 가능하게 함. 작은 비용으로도 꽤 정확하게 실험할 수 있는 방법을 알려준 좋은 영상이었다. 이를 몰랐다면, 꽤 고가의 것들을 구비해야 이 실험들을 할 수 있었을 것이다.)

https://www.youtube.com/watch?v=lnMWQzizc3E&t=612s

회절 무늬 관측에서 조금 더 나아가 레이저의 파장을 측정해보자. 레이저는 잘 알려진대로 특정 파장의 빛만 나와서 전체적인 실험을 훨씬 쉽게한다.

일단 필자의 구성은 이렇다. 아래 왼쪽 레이저와 오른쪽 유리판(이중슬릿)을 통해 사진에는 보이지 않는, 약 5m 뒤의 방 벽에 회절무늬가 맺히도록 했다. 

이중슬릿의 길이를 버니어 캘리퍼스로 측정해보자. 약 1.01 mm 이다. 이중슬릿의 길이를 너무 짧게하면 측정이 어려우므로 처음부터 이중슬릿을 만들때 1mm 정도는 감안하고 만들어두는게 좋다.

방 뒤에 맺힌 회절무늬의 마루와 마루 길이는 대략 3.00 mm이다. 회절무늬가 잘 관측됨을 알 수 있다. 지금생각해보니 하나의 마루와 마루(밝은 점)가 아니라 여러개의 간격을 구해서 개수대로 나누면 길이 측정이 좀더 정확하겠다. 아래 회절무늬가 양쪽에 약간씩 왜곡이 생기는 것은 슬릿이 정확히 직선대로 잘리지 않은 것으로 추정된다. 생각보다 정밀하게 틈을 만들어야 깔끔하게(?) 나온다.

잘 알려진 이 회절무늬 간격에 대한 공식은 대략 아래와 같고, 측정치를 대입해보자. 자세히 공부해보고 싶은 분은 아래 동영상을 참조하자.

https://www.youtube.com/watch?v=MIUqjJAU19M

 (슬릿과 스크린 거리) * (해당 레이저의 파장) = (회절무늬의 마루와 마루 사이의 거리) * (슬릿의 간격)

 4,840 mm * 레이저파장 = 3.00 mm * 1.01 mm

 레이저파장 = 3.03 / 4,840 mm

 레이저파장 = 6.26e-4 mm 

으로 구해보면 레이저 파장은 단위 변환하여 626 nm(나노미터)가 나온다. 대략 붉은식 레이저 스펙인 650 nm과 유사하게 측정된다.

 토머스 영의 이중 슬릿 실험은 오랜 세월이 지난 지금도 회절무늬를 그때 그대로 보여주고 있고, 정확하게 파장에 따른 방정식대로 구해진다. 상기 구성에 편광필름을 이용하면 우리가 알고 있는 양자역학에 더 가까운 현상들을 관측할 수 있는데 다음에 소개해보도록 하겠다.

1) 서로 다른 진법이 나타내는 다른 양상, 그리고 진법이란?

1/3 = 0.333333..... 으로 나타내진다. 그런데 3진수로 나타내보면 어떨까?

1/3을 3진수로 나타내면 0.1(3진수)으로 나타낼 수 있다. 신기하게도 순환하지 않는다.

영어로 base, 우리나라 말로는 진법이라 불리는 이 수 기록 체계는, 사실은 2진법, 8진법, 16진법, 60진법, 20진법 등 과거와 현재에 다양한 진법이 존재한다.

이 표기법을 수학적으로 나타내보자면 특정 수를, x의 제곱들로 덧셈 분할한다. 대략 아래 표현식을 보면 이해할 수 있다.

10진법은 위 경우의 조금더 특수한 경우로 앞의 숫자가 자연수이다.

이 진법을 확장할 수 있을까? 가능하다. 2진법부터 시작해서, 허수진법, 무리수진법, 음수진법 모든 것이 가능하다. 다만 앞에 붙는 상수가, 정수 진법이 아닌 경우에는 규칙에 따라 무의미해지는 경우가 있을 수 있다.

결국에는 이렇게 10진법은 자연수와 정수를 가지고 특정 수를 짧게 나타내주는 표기법이라고 볼 수 있다. 그리고 지나치게 길지 않게 하기 위해 자리수를, 10의 제곱수로 늘려나간다. 지수적인 증가를 채택해서 더 큰 수를 짧게 표현할 수 있는 체계이다.

자, 일단 진법은 그렇다고 치고 이 수를 가지고 유한과 무한을 다룰때로 다시 돌아가보자.

왜 1/3은 10진법과 3진법에 순환하는 양상이 다를까.

10진법에서는 무한한 반복으로 나타내야 하는데 3진법에서는 유한한 숫자로 나타낼 수 있을까?

진법의 본질은 제곱수들로 특정 수를 덧셈 분할하는 것이다. 예컨데 1/10, 1/100, 1/1000 의 자연수 조합으로 수를 나타내다보면 반복되어 그것을 메꿔나가야하는 일이 생긴다. 이 거듭제곱수의 패턴에 따라 어떤 것은 유한하게 반복되어 나타내어야 하고, 어떤 것은 딱 떨어진다.

A) 모든 유리수는 어떤 진법이든 무한히, 같은 숫자들의 그룹(진법상의 각 자리수 숫자/순서가 중요한)이 반복되어 표기되는 것으로 나타낼 수 있다. 그러나 어떤 진법에서는 그 반복이 유한한 것이 다른 진법에서는 유한하지 않을 수 있다.

    증명은 필요하나 어렵지 않게 가능하리라고 본다.

그러면 무리수는 어떨까?

무리수(여기서는 작도 가능한 길이로 한정하자)는 어떠한 진법으로도 반복되는 패턴이 나타나지 않는다.

B) 무리수는 어떤 진법이든 무한히 같은 숫자들의 그룹(진법상의 각 자리수 숫자/순서가 중요한)이 반복되지 않는 수의 흐름으로 나타나게 된다. A와 마찬가지다.

조금더 재미있는 추측을 해보면

C) 무리수에서 나타나는 개별 자리수의 정수값들의 반복은(Ex> 3.14159...에서 무한히 소수점 아래 자리수를 늘려나갈때 개별 각 숫자의 출현 분포, 위에서 말한 해당 진법상의 각 자리수 숫자) 균일하게 나타난다. 어떤 진법에서도 마찬가지 양상을 보인다.

중요한 것은 C의 이유인데, 왜 그럴까?

사람들에게 파이(pi)에 대해 똑같은 질문을 하면 본능적으로 각 숫자들(0~9 각각의 출현 빈도)이 유사한 빈도수로 반복되리라는 것을 알고 대답한다. 나는 이것이 사람이 자연에 대해 느끼는 대칭성때문이라고 생각한다(아직 증명이 필요하겠지만). 무한히 반복없이 흘러가는 수의 흐름이 특정 진법에서 어떤 숫자에 편중되는 패턴을 가지고 움직인다고 하면 대칭적이지 않다. 대칭성은 어떤 진법의 무리수에서도 지켜진다고 믿는다.

2) 2진법의 효용성에 대하여

다양한 진법가운데 가장 좋은 것은 2진법이라고 생각한다. 기계적이고 수학적인 접근에서는 2진법이 여러 방면에서 유리하다. 예를 들면 2진법에서의 짝수는 1의 자리수가 0인 것이 짝수이다. 10진법에서 짝수가 끝이 0,2,4,6,8인 것에 비하면 훨씬 더 단순하게 기술된다. 정수론은 진작에 2진수로 모든 수를 나타냈어야 더 직관적으로 풀렸을 것이다. 그리고 인류가 2진수를 썼다면 0도 더 빨리 발견되었으리라. (10진법이 편한것은 알겠다만 이론적으로는 그렇다는 얘기다)

  (10진법 = 2진법)

  1 = 00001

  2 = 00010 (짝수)

  3 = 00011

  4 = 00100 (짝수)

  5 = 00101

  6 = 00110 (짝수)

  7 = 00111

  8 = 01000 (짝수)

2진법으로 나타냈을때 위에서 언급했던 무리수의 패턴을 보면 자명하다. 0과 1의 개수가 전개 패턴이 서로 다르면서도 균등하게 나온다. 이 관점에서 무리수란 0과 1이 랜덤하게 반복되어 나타나는 것과도 유사한 대칭을 이룰 수 있어 보인다.

이 이야기와는 별도로 랜덤함에 대해서 이해가 필요하다고 믿는데, 칸토어가 무한대의 밀도를 비교했듯이 이 랜덤함에 대하여도 여러가지 등급이나 특성을 부여할 수 있고 이것이 자연을 이해하는데 기여를 할 수 있다고 믿고 있다. 이는 나중에 또 정리해보자.

3) 소수를 사용한 다른 차원의 진법?

모든 자연수는 소수의 연속 곱으로 나타낼 수 있다. 그러면 모든 유리수는 아래와 같이 나타내는게 가능하다.

즉, 분수로 나타낸 수를 아래 위 각기 소수의 거듭제곱 형태로 나타낼 수 있다(아래는 차례로 2,3,5,7까지만 써보자) 

이를 소수진법(위 일반 진법들과 형태는 좀 다르다고 하더라도)이라고 하자. 거듭제곱에 음수를 허용하면 유리수를 나타낼 수 있고, 0이상의 정수만 허용하면 자연수만 나타낼 수 있다. 이미 괴델 등은 각 소수의 거듭제곱 수가 다르면, 서로 겹치지 않은 숫자를 만들어낼 수 있다는 점을 자신의 불완전성 정리 증명에 응용한 적이 있다.

소수진법을 본격적으로 적용해서 2,3,5,7,11,..의 거듭제곱 수를 각각 거꾸로 써서 나타내면 아래와 같겠다. 소수진법에 의한 수라고 해야할까. 물론 각 자리수가 어떤 정수이든 들어갈 수 있다.

이 진법을 직접적으로 쉽게 연산할 수 있는 기계가 존재한다면 소인수 분해 등이 빨라지겠다. 물론 사실은 이는 좀 앞뒤가 바뀌어 있는 논리이긴 하겠다(소수의 패턴이 발견되었다는 의미일테니까). 진법을 따지다보니 이렇게 기존의 로그 스케일이 연관된 것(거듭제곱)이 아닌 완전히 다른 진법을 창조할 수 있겠다 싶어 괴델의 방식에서 착안해 예시로 들어보았다.

이 글들은 이제 https://infomath.tistory.com/ 로 옮겨서 논의해보려고 한다.

 양자역학의 얽힘과 관측으로 인한 확률함수 붕괴는 아직 모든 것이 명확하게 이해되는 현상은 아니다. 관측은 전 우주를 대상으로 해당 입자의 정보가 흘러감을 의미한다고 하는데, 사실은 이 설명도 그다지 와닿지 않을 수 있다.

 개인적으로 양자역학에 대한 이해는 연관된 실험에 대한 정확한 Fact에 대한 확인과 그 틀 속에서 그 의미를 탐구하는 과정에서 더 강해지지 않는가 싶다. 앞서 설명된 이중 슬릿 실험이 그래서 아주 소중한 이유이다.

 여기서는 좀더 괴상한 실험을 소개해본다. 이름하여 A delayed choice quantum eraser라는 제목의 실험이다. 짧게 설명해보면 이미 확률함수가 붕괴된 실험장치를 구성한 상태(회절무늬가 사라진)에서 실험 장치를 추가해 다시 회절무늬를 만드는 기이한 현상에 대한 실험이다. (흥미롭게도 이 실험은 또한 한국인이 제1저자인데, 포항공대 물리학과 김윤호 교수라는 분이다.)

우선 이 실험을 설명한 두가지 동영상을 먼저 소개해보자(나중에 보면 된다) 이 영상의 사진들을 활용했다.

두개중 먼저 소개된 영상이 훨씬 더 간략화되었고 후자가 조금 더 자세하다.

https://www.youtube.com/watch?v=iyN27R7UDnI

https://www.youtube.com/watch?v=U7Z_TIw9InA&t=7s

아래 신기한 실험장치가 있다. 레이저로 빛을 쏘면 A,B 두 슬릿으로 빛이 입사 된다. 이중슬릿 실험과 동일하다. 그리고 BBO는 좀 신기하게 하나의 광자가 입사되면 두개의 얽힌 입자를 생성하고(높은 에너지의 광자가 낮은 2개의 광자로 분할된다고 한다) 프리즘을 통해(Glan-Thompson prism) 각기 방향으로 나가게 한다 (슬릿 별로 빨간색과 형광색의 경로를 각각 보자)

"D?"들은 모두 관측 장치이다. 아래 이제 실제 그림을 보자.

먼저 A,B로 어디로 들어왔는지 모르는 경우에 D0에는 어떤 무늬가 생길까? 익숙한 설정이다. 회절무늬가 생긴다.

(나중에 살펴볼 D4같은 검출기가 없다고 가정한다.)

여기서 또 알고 있어야 하는 내용은 A슬릿으로 온 광자와 B슬릿으로 온 광자는 각기 BBO(어떤 특수 크리스탈을 쓰면 된다고 한다)에 의해 얽힌 광자쌍을 만들어낸다는 사실이다. 아래 그림은 B로 들어온 광자가 얽힌 광자 2개로 나뉘어 나아가는 모습이다(빛나는 밝은 두 원을 보라). 얽힌 광자는 당연하게도 하나가 확정되면 또 다른 하나가 즉시 확정된다. 즉 이 실험은 이중슬릿과 얽힌 광자입자가 동시에 등장하는 실험이다.

이 실험도구를 이제 좀더 아래 그림처럼 확대해보자. 이제 BBO를 거쳐 가는 얽힌 입자들이 프리즘(PS)을 거쳐 BSb, BSa라는 각각의 거울을 거쳐 D4나 D3에 도달하게 된다(영상에서는 애니메이션이 제공되어 더 길을 잘 알 수 있다, 나중에 Bsa, BSb는 반투명 거울-beal splitter-로 바뀌지만, 지금은 거울이라고 하자) 

만약에 D4에 입자가 나타났다면 이중슬릿에서 A로 통과되어 들어온 것이므로 입자의 위치가 들통나면서 어떻게 될까? 이제 회절무늬가 사라지겠다. D3에 입자가 나타났어도 B를 통과해서 들어온것이므로 회절무늬는 사라진다. D4, D3에도 그냥 입자처럼 관측된다 확률함수는 이미 붕괴된 것이다.

 이것이 왜 신기할까? 이미 슬릿은 통과되었는데 뒤에 관측한 사실때문에 회절무늬가 사라진셈이다. 다른 과거의 실험 예처럼 이중슬릿에서 관측하지 않고, 이번에는 뒷 선에서 관측을 해도 회절무늬는 사라지게 된다. 즉 입자로부터 정보를 얻는 시점은 상관없이 정보가 생기면 확률붕괴가 발생한다는 사실이다.

 그리고 또 하나 신기한 것은 아예 D3,D4가 뒤로 아무리 멀게 배치해도 간섭무늬가 사라진다고 한다(개인적으로 이것이 잘 이해가 가지 않긴 하다). D0에 이미 충돌했는데 D3,D4가 검출이 가능하게되면 간섭무늬가 사라지는 모양새이다. 광자의 과거에 영향을 미치는 모습이다. (즉 양자역학의 얽힘과 그 효과가 결국에는 과거와 미래가 한 방향으로 흐른다는 것이 의미가 없다는 것을 시사한다고 생각한다. 정보는 시간을 거꾸로 넘어 상호작용한다. 마치 모든 시간의 일이 한 순간에 펼쳐지는 느낌이다. 이런 것들을 Retro Casuality라고 부른다고 한다.)

그리고 한단계 더 나아가보자.

아예 BSb와 BSa를 이제 반투명 거울로 바꾸어보자. 설명하기는 복잡하지만 상기 실험의 구성에서는 반투명의 구성때문에 결국 D2, D1에 상이 맺히더라도 어느 경로로 들어온 것인지를 알 수 없게 된다. 온갖 측정장치가 앞에 달려있어도 마지막에는 그 정보를 알 수 없게 된 상태가 된 것이다. 그리고 이제 BSb, BSa를 통과한 광자만 따로 모아서 무늬를 관찰해보자(한번에 광자를 1개 수준으로 쏘면 그렇게 따로 모을 수 있다고 한다). 그러면 다시 회절무늬가 나타난다. 관측장치가 있어도, 결국은 어느 슬릿에서 왔는지 알 수 없으면 회절 무늬를 띄게 된다.

여기서 또 재미있는 것은 이때의 D0이다. D1/D2에서 반응한 광자의 얽힌 쌍은 D0에서도 회절무늬를 보인다. 그런데 가만.. 이 그림의 경로 길이는 실제와 유사하게 표현되어 있는데, D2나 D1에는 D0보다 나중에 충돌되게 된다. 그런데 D1과 D0에 충돌되기도 전인데 D0에는 회절무늬가 생긴다.

무엇이라? 이 D0의 회절무늬는 마치 미래에 이 광자가 D2나 D1에 맺힌다는 것을 미리 알고있는것처럼 행동한다는 것이다. 만약에 이 D4,D2,D3,D1을 10광년정도 뒤로 배치했다고 치자. 영상들의 설명에서는 여전히 유효하다고 한다. 대체 이것이 우리 상식으로 어떻게 이해가 가는가.. 

https://www.youtube.com/watch?v=0ui9ovrQuKE  (7분20초부터 8분 30초 사이의 설명)

무언가 우리가 아는 우주의 인과 관계라는 것이 뒤집어 지는 모양새이다. 그런데 실험 결과가 정확히 위 설명과 일치한다고 한다. 섣불리 양자역학에서의 관측이라는 것을 이해했다고 말하기 힘든 이유이다. 이것은 인과 관계나 시간의 앞과 뒤도 상관없다. 양자는 정보를 얻을 수 있느냐로 그 결과만 귀신같이 따져서 알고 확률함수가 붕괴될지 아닐지를 결정한다. 

 리처드 파인만 교수의 말대로 "양자역학을 이해하는 사람은 아무도 없다"라는 말이 이해가는 순간이 아닐까.

자 이제 앞서 소개한 동영상을 살펴보자. 이해가 좀더 명료해지길 바란다.

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이 소개에 대해 미래의 행위가 과거를 바꾸지 않는 것이라는 지적이 있다. 실험상의 함정이 있다는 이야기이다. 아래 동영상을 참조하자.

https://www.youtube.com/watch?v=RQv5CVELG3U