순수수학2020. 7. 29. 01:42

 랜덤에 대해서 가장 인상적이었던 것은 https://infoengineer.tistory.com/5 에서 언급했듯이 폰 노이만의 "임의의 숫자들을 낳는 산술적 방법을 고찰하는 사람은 누구나 할 것 없이 당연히 죄를 짓고 있는 것이다" 라는 말이다. 기계적으로는 사실은 완벽한 랜덤을 만들 수가 없다. 기계는 알고리즘에 의해 정해진대로 값을 출력하게 되는데, 랜덤을 만드려는 인간은 예측 불가능한 값을 원하는 것이 함정이다. 기계는 예측 가능할 수 밖에 없기 때문이다. 오로지 유사 난수(난수처럼 보이지만 사실은 엄밀한 의미에서는 예측이 가능한 난수)만 기계로 생성이 가능하다.

 

 이론적으로는 기계가 만드는 난수는 튜링머신이 만드는 난수이고, 같은 튜링머신으로 예측이 가능하다고 간단히 정의할 수 있다. 즉 기계가 만드는 난수는 예측불가능한 난수가 아니다. 단지 모를 뿐이다.

 

 

 그런데 자연에서의 여러 현상을 기술하는 것은 랜덤으로 다뤄지고 있다. 앞서 소개한 양자 난수 발생기도 그러한 원리에 기원한다. 그러나 나는 이론적으로는 이것이 더 엄밀하게 정의되고 매칭될 필요가 있다고 생각한다. 수많은 확률/통계가 순수한 예측불가능한 랜덤을 가정하는데 자연이 실제로 그렇게 작동할지는 아무도 모를 일이다. 그런데 랜덤을 계속 고민하다보면 랜덤에 그 레벨이나 등급이 있다는 사실을 금새 깨닫게 된다. 그리고 그 안에는 대칭의 속성들도 연관된다.

 

 먼저, 시작하기 전에 모든 무한한 랜덤은 기술적으로는 무한히 발생하는 0과 1의 흐름으로 대치될 수 있다는 것을 밝혀두자. 단순히 생성되는 숫자를 2진수로 바꾸는 것만으로도 이 논리는 성립한다. 그런 숫자를 무한히 생성하면 결국 0과 1의 무한한 나열로 곧바로 매핑된다.

 

 추가로 코멘트 해둘것은 아래 각 등급은 지속 검토하여 더 세분화되거나 같은 것이면 합치는 과정을 반복하게 될것이라는 점이다. 여기서는 일단 시작을 해보자.

 

랜덤함에서 있어서 기본적으로 2가지를 기대한다.

 

1) 랜덤은 대칭적인 분포를 기대한다. 누구도 편중된 것을 랜덤하다고 하지 않는다. 무한히 발생하는 0과 1의 흐름은 결국 50%:50%씩 발생하는 것을 기대하게 한다. 이 공평함이 깨질수록 랜덤하지 않다고 간주된다. 0과 1의 상대적 비율이 랜덤하지 않음을 나타내게 된다.

 

2) 랜덤은 예측 불가능을 기대한다. 누구도 예측가능한 것을 랜덤하다고 하지 않는다. 위에 언급한 것처럼 튜링머신이 만들어낼 수 있는 0과 1의 흐름은 랜덤함에서 어긋난다고 볼 수 있다. pi의 소수점 이하 자리수, 무리수의 소수점이하 자리수 전개가 대표적인 예인데 반복되지 않고 고르지만, 곧 그 숫자를 나타내는 전개를 찾아낼 수 있다. 즉 튜링 머신으로 그 소수의 전개를 따라 예측해나갈 수 있게 된다. 하지만 신기하게도 반복되지 않는 무리수는 그 소수점 이하 2진수 전개가 모두 반복되지 않으면서 대칭적인 분포를 기대할 수 있을 것이라 예측된다. 나는 이것이 수학적으로 증명할 수 있으리라 기대한다. 즉 2진수로 무한히 나타내어질때 0과 1의 빈도수가 50:50으로 수렴하며 0과 1의 일정 길이 패턴들도 마찬가지로 고르게 분포하며 순서가 없다는 점이다.

 

ㅇ예를 하나 들어보자. 01010101..로 무한히 반복되는 수는 1)의 대칭적인 분포를 기대할 수 있지만, 아무도 이것을 랜덤이라고 하지 않는다. 예측 가능해지기 때문인데, 동일 패턴이 반복되는 것은 곧바로 튜링 머신으로 대치할 수 있기 때문이다. 이는 랜덤이라는 요소의 예측 가능성에 몇가지 정도가 있음을 나타낸다. 그런데 사실 위에 언급된 것처럼 파이 이하의 소수점도 본질적으로는 010101같은 반복패턴과 같은 것은 역시 튜링머신으로 이를 구할 수 있기 때문이다. 아마도 차이는 무한히 예측하기 위해서는 알고리즘이 조금더 복잡해지는 정도겠다.

 

 따라서 이 튜링머신의 예측 복잡도를 정의하면 랜덤함을 조금더 수학적으로 정의해볼 수는 있겠다(다만 그런 행위가 의미를 가지는지는 아직 모르겠어서 생략한다)

 

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#TBD

 

그리고 다음 질문은 이 대칭적인 분포와 예측 불가성이라는 두 속성의 관계에 대해서이다. 언뜻보면 예측 불가능성이 대칭적인 분포를 강제하는건 아닐까 생각이 들 수 있다. 이건 생각보다 쉽지 않은데, 대칭적인 분포를 보증하기 위해서는 어찌보면 과거에 0만 계속 나왔다면 앞으로는 1을 더 많이 출력해야하는 경향을 더 지니게 되는 형태로 유도되기 때문이다. 즉 신기하게도 과거가 예외적인 상황일 수록 예측 가능해지게 되는게 아닌가?

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Posted by 작동미학
정보이론2020. 7. 28. 01:10

여기서는 먼저 이 영상을 게시해보자. 최근에 맥스웰의 도깨비 연관하여 가장 잘 짧게 설명된 영상이라 생각한다.

https://www.youtube.com/watch?v=T6CxT4AESCQ

 

개인적으로는 정보 이론이 물리학의 법칙에 끼어든 가장 인상적인 사례 중의 하나이다. 그렇다. 맥스웰의 도깨비, 엔트로피, 정보에 대한 이야기는 매우 유명한 이야기가 되어버리긴 했다.

 

 이 이야기는 열역학 제 2법칙 즉 엔트로피 증가의 법칙이 맥스웰의 도깨비(Maxwell's Demon, 사실은 맥스웰의 악마다)에 의해 깨진다는 맥스웰의 지적(1867년 사고실험)에서 시작된다. 천재 맥스웰은 이런 것도 건드렸다.

 

 엔트로피 증가는 간단히 말해서 찬물과 뜨거운물 합쳤을때 그 둘이 자연스럽게 랜덤하게 섞이며 그 둘의 합쳐진 평균 온도로 변하는 현상이라고 말할 수 있다. 그런데 놀랍게도 이 둘을 다시 찬물과 뜨거운물로 분리하는 것이 가능하다. 어떻게 하는가?

 

 섞인 물의 한가운데 아주 작은 문을 놓고 아주 작은 존재가 보다가 찬 물 분자는 막고 뜨거운 물 분자만 통과시키면 어느 순간 한쪽은 뜨거운 물이 한쪽은 차가운 물만 생긴다. 이 문은 너무도 가벼워서 움직이는데 거의 힘도 들이지 않는 존재라고 해보면, 이렇게 셋팅하는 순간 열역학 제2법칙이 무너지는 모양새이다.

 

 그런데 맥스웰이 지적한 후 근 백년 동안 여기에 반박을 할 수 있는 사람이 없었다. 즉 이 구성이 열역학 제2법칙에 위배되지 않으려면 이 도깨비가 엔트로피를 늘린다는 것이 증빙되어야 한다는 점이다. 도깨비가 물 분자를 보고 문을 열고 닫는 행위는 일종의 정보처리이기 때문에, 이 이야기는 결국은 정보이론과 연결되게 된다.

 

 여러분은 어떻게 생각하는가?

 

 유투브 동영상을 계속 살펴보면 이 맥스웰의 도깨비를 튜링머신으로 설명하기도 한다. 그리고 이 튜링머신이 과연 엔트로피를 증가시키느냐 아니냐를 판단하게 된다. 과연 찬물과 뜨거운물은 과연 특별한 에너지도 없이 저절로 엔트로피가 감속했다는 말인가?

 

 여기에 나타난 구세주는 바로 IBM연구소의 Rolf Landauer다. (Landauer, R. (1961), "Irreversibility and heat generation in the computing process", IBM Journal of Research and Development 5 (3): 183-191)

 

 IBM의 연구원이었던 Rolf Landauer는 이론적으로 가장 적은 에너지로 구동되는 컴퓨터를 상상하고 연결하다가 결국 도저히 에너지를 절약할 수 없는 기능을 발견한것이다. 바로 데이터 삭제(erase)다.

 불행히도 세부적으로 정리하지는 못하지만, 결국에는 튜링머신을 최소한의 에너지로 구동하도록 아무리 설계해도 유한한 메모리를 가졌다면 메모리를 지우는데 에너지가 소모된다(란다우어 한계보다 큰 에너지)는 증명을 해놓은 것이다(무려 증명이다). 결국 맥스웰의 도깨비는 자연의 한계에 따라 유한한 메모리를 가질 것이고, 결국에는 그 한계에 다다르고, 에너지를 소모하게 된다(결국 엔트로피를 발생시킨다) 그래서 결국에는 열역학 제2법칙이 깨지지 않는다는 말이다.

 

 놀랍지 않은가. 이론적으로도 정보처리가 물리적인 엔트로피의 원리와 연결된다. 마치 질량이 에너지라는 것을 처음 수식으로 유도했던 아인슈타인의 그것처럼, 이런 식이라면 정보가 질량이다는 말이 나올 수 있는 것은 아닌가. 정보가 에너지로 변환되거나 이럴 수도 있겠다.

 

 그도 그럴 것이 블랙홀에 빨려들어간 물체의 정보가 사라지거나, 여러가지 후속 논의들이 진행되면서 정보이론은 현재 물리학에서 활발하게 활동하는 것 같다. 정보 보존의 법칙이 나올 기세다. 여하튼 앞서 추천했던 양자정보이론(한스 크리스천 폰 베이어)에서 양자역학이 정보이론에 의해 또다른 진보를 이룰 것으로 기대하고 있다.

 

 오늘은 여기서 간단하게 열역학 제2법칙과 란다우어의 정보이론이 맥스웰의 도깨비를 통해 어떻게 이어지는지 간단히 살펴보았다.

 

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Posted by 작동미학
순수수학2020. 6. 20. 23:58

앞서는 1차원상에서 대칭을 통해서 정수를 전개할 수 있음을 알았는데, 그러면 다차원에서의 대칭은 무엇일까? 이에 대한 답을 찾아가는 과정에서 여전히 대칭의 핵심 개념은 "다르지만 같은" 존재이다. 즉 관점(축)을 바꿔도 이전과 같게 보이는 것이 대칭 관계 구성의 핵심이다.

 대칭을 위와 같이 "바뀐 관점"에서 기존과 동일한 것을 다룬다면, 대칭의 핵심은 또한 "바뀐 관점" 즉 변환에 있다는 사실을 알 수 있다.

 

 이전에 소개한 1차원상의 0점을 기준으로 거울로 바라보는 관계에 있는 곳의 위치가 바로 이런 대칭 관계를 구성하는데, 이렇게 동치를 만드는 축이 x축, -x축(x축을 뒤집어서 음양의 방향이 바뀐것) 2가지의 축 구성 방식이다.

 

아래 이 2가지 축을 살펴보자.

0을 기준으로 방향이 바뀌면 이 1, -1은 사실은 같은 점으로 볼 수 있다.

 

그런데 축, 즉 좌표계는 '관점'에 따라 다양한 대칭을 창조해 내도록 할 수 있다. 바로 앞 처럼 간격이 일정한 좌표계가 아니라 간격이 달라지는 좌표계라고 하면 조금더 다른 대칭을 만들 수 있다. 예를 들면 이런건 어떤가? 일반 적인 상황에서는 전혀 대칭이 아니라고 생각되지만 변환의 정의나 축의 모습을 다르게 하면 일련 대칭이라고도 볼 수 있다. 즉 대칭은 변환이 서로 같으면서 다른것이 될 가정만 만족하면 성립된다.

 

간격이 다른 이상한 좌표계에서의 대칭은 이럴 수도 있다.

 이렇게 기존의 우리가 알던 대칭이(반사 대칭, 미끄럼 대칭, 회전 대칭 등) 특정한 가정하에서 벌어지고 있음을 알게 되면, 대칭은 가정에 따라 정의되기 나름이라는 사실도 곧바로 알 수 있다. 대부분의 수학자들 사이에 논의되는 대칭은 평등하다고 생각되는 기준에 의거하는데, 대체로 1차원을 예로 들면 0을 기준으로 거울대칭이 그 대표적인 예(첫번째로 예를 들었던)가 되겠다.

 

 그러면 2차원 대칭에서의 대표적인 거울대칭과 회전대칭 등은 어떻게 규정할 수 있을가? 사실은 3차원에 익숙한 우리가 2차원을 바라볼때, 2차원에서 벗어나서는 뒤집고 뒤틀어서 다시 돌아가도 서로 등가라고 생각한 변환들에 의거한다. 조금더 구체적으로 말하자면 x,y,z축이 자유롭게 변환되지만 scale이 달라지는 상황을 가정하지는 않는다. 상식적인 수준에서의 대칭이 다뤄진다고 이야기할 수 있을까.

 

 더 자세히 기술해보면 거울대칭은 축의 음,양의 방향 전환을 의미한다. x축이면 -x축으로 뒤집힌 것이고, y축이면 -y축으로 뒤집힌 것이다. 음과 양의 방향이 앞서 서술한대로 "같으면서 다른", "뒤집힐 수 있는 임의적인" 것 이라는 점을 생각해보면 어렵지 않게 이 둘이 대칭관계가 본능적으로 인지됨을 알 수 있다.

 

 미끄러짐 대칭은 축의 전환이다. x축과 y축을 서로 바꾸면 된다. 

 

 회전대칭은 조금더 어려운데 x,y축이 상호간의 방향을 유지한체 말그대로 회전하고 있는 것이다. 0점을 기준으로 원을 그린다음에 축을 조금씩 돌려나가면서 생기는 대칭을 다룬다. 이렇게 3개의 기본 대칭을 다루는 것이 2차원의 대칭이다.

(그리고 조금 생각해보면 서로의 대칭들 간에 관계가 있음을 알 수 있다. 회전대칭을 이루는 축 변화의 특정한 형태(90도, 190도, 270도 등)가 바로 거울대칭과 미끄러짐 대칭의 특정 유형의 일부이다. 그러나 신기하게도 회전만으로는 거울/미끄러짐 전체를 구성할 수는 없다.

 

90도 축 회전의 연속시 축 변화

 

x,y의 방향변화 각 4개 * 축 교환 2개 = 8가지 경우 (빨간색은 회전변환으로 생성가능)

 여기서 단순하게 차원별로 몇개의 대칭관계를 지닌 축의 유형이 존재하나를 추적해보다. 단 여기서는 회전대칭은 논의에서 빼자. 회전 대칭은 사실은 수없이 많으므로(무한대) 다루기가 까다로워 져서, 거울대칭과 미끄러짐 대칭 즉 음/양 방향전환과 축 교환만을 염두해두자.

 

1차원에서는 2개의 축 구성 방식이 존재한다. x축 하나의 음과 양의 방향 2가지 축 구성 방식이 있다.

2차원에서는 8개의 축 구성 방식이 존재한다. x,y 2개 축의 음양이 각각 2개이며, 여기에 x,y의 축 교환 2개 조합이 있다.

3차원에서는 18개의 대칭쌍 유형이 존재한다. x,y,z 3개 축의 음양이 가각 2개이며, x,y,z의 축 교환 6개(=3!)이다.

 

그래서 n차원에서는 n*2*n! 축 구성 방식이 존재한다는 것을 알 수 있다.

 

차원 대칭쌍 유형 수식
1차원 1 1*2*1!
2차원 8 2*2*2!
3차원 36 3*2*3!
4차원 192 4*2*4!
5차원 1,200 5*2*5!
6차원 8,640 6*2*6!
7차원 70,560 7*2*7!
8차원 645,120 8*2*8!
9차원 6,531,840 9*2*9!
10차원 72,576,000 10*2*10!
11차원 878,169,600 11*2*11!
12차원 11,496,038,400 12*2*12!
13차원 161,902,540,800 13*2*13!
14차원 2,440,992,153,600 14*2*14!
15차원 39,230,231,040,000 15*2*15!
16차원 669,529,276,416,000 16*2*16!
.. .. ..
24차원 29,781,523,283,195,493,089,280,000 24*2*24!

 

24차원의 공간에서는 사실상 우리가 임의 좌표 축을 그리면 그에 대응되는 대칭 좌표축이 자연스럽게 저렇게나 많이 존재한다(물론 모든 축간의 교환이 동등한 경우에 말이다). 그리고 그 한 방식은 저렇게 수많은 방식과 사실은 같은 대칭 관계를 구성하게 해준다.

 

차원이 확대될때의 대칭의 의미에 대해서 제대로 숙고된 별도 자료를 찾을 수 없어 개인적인 메모를 일단 올린다. 향후 잘 정의된 일반화를 찾게 되기를 바란다.

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Posted by 작동미학