랜덤에 대해서 가장 인상적이었던 것은 https://infoengineer.tistory.com/5 에서 언급했듯이 폰 노이만의 "임의의 숫자들을 낳는 산술적 방법을 고찰하는 사람은 누구나 할 것 없이 당연히 죄를 짓고 있는 것이다" 라는 말이다. 기계적으로는 사실은 완벽한 랜덤을 만들 수가 없다. 기계는 알고리즘에 의해 정해진대로 값을 출력하게 되는데, 랜덤을 만드려는 인간은 예측 불가능한 값을 원하는 것이 함정이다. 기계는 예측 가능할 수 밖에 없기 때문이다. 오로지 유사 난수(난수처럼 보이지만 사실은 엄밀한 의미에서는 예측이 가능한 난수)만 기계로 생성이 가능하다.
이론적으로는 기계가 만드는 난수는 튜링머신이 만드는 난수이고, 같은 튜링머신으로 예측이 가능하다고 간단히 정의할 수 있다. 즉 기계가 만드는 난수는 예측불가능한 난수가 아니다. 단지 모를 뿐이다.
그런데 자연에서의 여러 현상을 기술하는 것은 랜덤으로 다뤄지고 있다. 앞서 소개한 양자 난수 발생기도 그러한 원리에 기원한다. 그러나 나는 이론적으로는 이것이 더 엄밀하게 정의되고 매칭될 필요가 있다고 생각한다. 수많은 확률/통계가 순수한 예측불가능한 랜덤을 가정하는데 자연이 실제로 그렇게 작동할지는 아무도 모를 일이다. 그런데 랜덤을 계속 고민하다보면 랜덤에 그 레벨이나 등급이 있다는 사실을 금새 깨닫게 된다. 그리고 그 안에는 대칭의 속성들도 연관된다.
먼저, 시작하기 전에 모든 무한한 랜덤은 기술적으로는 무한히 발생하는 0과 1의 흐름으로 대치될 수 있다는 것을 밝혀두자. 단순히 생성되는 숫자를 2진수로 바꾸는 것만으로도 이 논리는 성립한다. 그런 숫자를 무한히 생성하면 결국 0과 1의 무한한 나열로 곧바로 매핑된다.
추가로 코멘트 해둘것은 아래 각 등급은 지속 검토하여 더 세분화되거나 같은 것이면 합치는 과정을 반복하게 될것이라는 점이다. 여기서는 일단 시작을 해보자.
랜덤함에서 있어서 기본적으로 2가지를 기대한다.
1) 랜덤은 대칭적인 분포를 기대한다. 누구도 편중된 것을 랜덤하다고 하지 않는다. 무한히 발생하는 0과 1의 흐름은 결국 50%:50%씩 발생하는 것을 기대하게 한다. 이 공평함이 깨질수록 랜덤하지 않다고 간주된다. 0과 1의 상대적 비율이 랜덤하지 않음을 나타내게 된다.
2) 랜덤은 예측 불가능을 기대한다. 누구도 예측가능한 것을 랜덤하다고 하지 않는다. 위에 언급한 것처럼 튜링머신이 만들어낼 수 있는 0과 1의 흐름은 랜덤함에서 어긋난다고 볼 수 있다. pi의 소수점 이하 자리수, 무리수의 소수점이하 자리수 전개가 대표적인 예인데 반복되지 않고 고르지만, 곧 그 숫자를 나타내는 전개를 찾아낼 수 있다. 즉 튜링 머신으로 그 소수의 전개를 따라 예측해나갈 수 있게 된다. 하지만 신기하게도 반복되지 않는 무리수는 그 소수점 이하 2진수 전개가 모두 반복되지 않으면서 대칭적인 분포를 기대할 수 있을 것이라 예측된다. 나는 이것이 수학적으로 증명할 수 있으리라 기대한다. 즉 2진수로 무한히 나타내어질때 0과 1의 빈도수가 50:50으로 수렴하며 0과 1의 일정 길이 패턴들도 마찬가지로 고르게 분포하며 순서가 없다는 점이다.
ㅇ예를 하나 들어보자. 01010101..로 무한히 반복되는 수는 1)의 대칭적인 분포를 기대할 수 있지만, 아무도 이것을 랜덤이라고 하지 않는다. 예측 가능해지기 때문인데, 동일 패턴이 반복되는 것은 곧바로 튜링 머신으로 대치할 수 있기 때문이다. 이는 랜덤이라는 요소의 예측 가능성에 몇가지 정도가 있음을 나타낸다. 그런데 사실 위에 언급된 것처럼 파이 이하의 소수점도 본질적으로는 010101같은 반복패턴과 같은 것은 역시 튜링머신으로 이를 구할 수 있기 때문이다. 아마도 차이는 무한히 예측하기 위해서는 알고리즘이 조금더 복잡해지는 정도겠다.
따라서 이 튜링머신의 예측 복잡도를 정의하면 랜덤함을 조금더 수학적으로 정의해볼 수는 있겠다(다만 그런 행위가 의미를 가지는지는 아직 모르겠어서 생략한다)
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#TBD
그리고 다음 질문은 이 대칭적인 분포와 예측 불가성이라는 두 속성의 관계에 대해서이다. 언뜻보면 예측 불가능성이 대칭적인 분포를 강제하는건 아닐까 생각이 들 수 있다. 이건 생각보다 쉽지 않은데, 대칭적인 분포를 보증하기 위해서는 어찌보면 과거에 0만 계속 나왔다면 앞으로는 1을 더 많이 출력해야하는 경향을 더 지니게 되는 형태로 유도되기 때문이다. 즉 신기하게도 과거가 예외적인 상황일 수록 예측 가능해지게 되는게 아닌가?
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